Oś Świata/Kolokolo Bird

Arytmetyka modularna w przedszkolu

02.10
2014

Przedszkolnej teorii liczb ciąg dalszy.
Małe dziecię (sześciolatek w szkole) w ramach kontestacji wszystkiego — apostazji z matematyki — na pytanie do ilu umie liczyć, stwierdził, że do dwunastu. Kłamstwo oczywiste, bo on po prostu umie liczyć bez limitu (choć zapewne nie zna słów takich jak „milion”). Diabeł mnie podkusił, żeby w reakcji wpuścić go w arytmetykę modularną.

OK, dziecię drogie: znamy wyłącznie liczby ${0,1,2,\ldots\, 12}$. Poradzimy sobie! Możemy liczyć, wykonywać działania. Nie potrzebujemy więcej liczb. Te do $12$ nam wystarczą. Po $\ldots 11, 12$ mamy znów $0, 1, 2 \ldots$. Możemy tak w kółko liczyć do upadłego. Ile to jest $2+3$? $5$ — świetnie. A ile to jest $11+3$? – $14$??? Nie znamy przecież takiej liczby!!! No to odliczamy od $11$ jeszcze $3$ liczby dalej: $11\longrightarrow 12, 0, 1$. Czyli $11+3=1$. Udało nam się nawet policzyć, że $3\times 5= 2$. Z dzieleniem sam sobie już nie poradził, ale z pewną moją pomocą ustaliliśmy w końcu, że $5\div 3=6$ — to, że każda liczba daje się podzielić przez każdą, było dodatkowym pożytkiem z naszego sposobu liczenia.

No i jeszcze ten pożytek, że w naszej arytmetyce nie ma liczb ujemnych! $-3$ to $10$. Bo: $5-3=5+10= 2 =5+(-3)$…

Bardzo mu się spodobała ta arytmetyka w ciele $\mathbb{Z}_{13}$. Długo trenował pisanie $\mathbb{Z}$ z podwójną kreseczką. I już nie udawał, że nie rozumie tej $13$ w zapisie $\mathbb{Z}_{13}$.
Choć obawiam się, że nie dojdzie do ładu ze szkolną nauczycielką, która z pewnością podwójnej kreseczki w $\mathbb{Z}$ (nawet $\mathbb{Z}$ bez indeksu, czyli w nieskończonym zbiorze liczb całkowitych, o jakich uczy…) nigdy nie widziała, ani nie ma pojęcia, że po niemiecku `liczby’ to `Zahlen’, stąd to $\mathbb{Z}$.

A na całkiem poważnie (raczej dla odrobinę starszych — z dedykacją dla 11-letniej Milki) — arytmetyką modularną warto zająć się głębiej. Dopóki operujemy na małych liczbach (mniejszych od „największej liczby jaką znamy”) to nie różni sie ona niczym od normalnej, szkolnej arytmetyki — poza tym, że zawsze można wykonać dzielenie bez reszty, jak to nasze $5\div 3\underset{\mathbb{Z}_{13}}{=}6$. Ale zawsze, jeśli wynik jakiegoś działania w „zwykłej” arytmetyce istnieje i mieści się w zakresie znanych nam liczb, to nasza arytmetyka daje identyczny wynik. U nas $6\div 2$ też równa się $3$, a $3+5=8$. Ale, gdy zaczynamy liczyć „z zawinięciem”, to pewne obliczenia nawet na ogromnych (tysiąccyfrowych) liczbach stają się wykonalne, a inne pozostają poza możliwościami obliczeniowymi i pojawia się mnóstwo ciekawych własności, na których bazuje połowa współczesnej kryptografii. Tyle, że tu zawijamy nie po 12, ale po jakiejś tysiąccyfrowej liczbie.

Okazuje się też, że arytmetyka modularna jest jak najbardziej do pojęcia i zrozumienia dla sześciolatka. Kontestującego szkołę i jej ćwiczenia w z rachunkami w zakresie do $20$.

Komputery, poza bardzo specjalizowanymi programami do obliczeń na dużych liczbach, są na tyle głupie, że też używają arytmetyki modularnej i to w dodatku z modułem nie będącym wcale liczbą pierwszą, tylko (zazwyczaj w dzisiejszych czasach) zawijają na $2^{64}$, czyli po 18,446,744,073,709,551,615. Z dużymi liczbami nie dają sobie rady (nie ma mowy o tysiąccyfrowych! najwyżej 20-cyfrowe, a w starszych 10-cyfrowe…) — liczą jak my tutaj, tyle, że zawijając nie na 13, ale tak, że utożsamiają 18,446,744,073,709,551,616 z zerem…

(*) — dzielenie jest zawsze wykonalne tylko w ciałach o module, będącym liczbą pierwszą: $\mathbb{Z}_{p}$, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą, jak w naszym $\mathbb{Z}_{13}$…

34
Dodaj komentarz

16 Comment threads
18 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
9 Comment authors
avataravataravataravataravatar Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
avatar
Gość
Robert Raczyński

Ciebie to kiedyś posadzą za mącenie dzieciom w głowach ;). Mnie już kiedyś grożono prokuratorem za działania na zbiorach i objaśnianie datowania węglowego na angielskim, więc trzeba uważać – do piętnastego roku życia człowiek powinien wiedzieć, że 2+2=4 i niewiele więcej, bo mógłby zadawać niebezpieczne pytania… Wszyscy zmartwieni „zabijaniem dziecięcej ciekawości” zwykle koncentrują się na braku inicjatywy nauczyciela, a nie na prostym fakcie, że ciekawości nie daje się budzić masowo, bo jest mechanizmem biologicznie indywidualnym, nastawionym na selekcję, a nie chłonięcie wszelkich bodźców… Także stara prawda, że „potrzeba matką wynalazków” jakoś im nie przeszkadza w bezgranicznej miłości do wszelkiego rodzaju… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Al

To jeszcze tylko należy mieć nadzieję, że dziecko okaże się na tyle inteligentne (społecznie), żeby tę nabytą wiedzę zachować dla siebie i nie wpaść na to, żeby używać jej w szkole. Przynajmniej do czasu, aż zacznie startować w olimpiadach i jego wiedza z kłopotliwej i niezrozumiałej dla nauczyciela zmieni się w mile widzianą (choć być może nadal niezrozumiałą dla nauczyciela).

avatar
Gość

Aby w ogóle zrozumieć to, co tu wypisujecie, sięgnęłam za poradą koleżanki po książkę Alexa Bellos’a „Przygody Alexa w krainie liczb” (wydana w 2013 roku). Wciągające… mam już kilka pomysłów na intuicje matematyczne 🙂
I całkiem naturalne wprowadzenie pojęcia „tuzin” – w końcu odkąd pamiętam sadzamy dzieci w przedszkolu szóstkami…

avatar
Gość
domi

Zapytuję Po co?
Po co dziecku w przedszkolu wiedza o arytmetyce modularnej (pojęcie kryptografii jest dziecku równie odległe) i na jego poziomie funkcjonowania zwykle zbędne w przeciwieństwie do umiejętności doliczenia się czy miał dwie karty/żetony/kamyki czy 4.

Porównywanie jednostkowego, zapewne wybitnego przypadku dziecka, zarażonego pasją z umiejętnościami pedagogicznymi (czy „dochodzenie do ładu z nauczycielką” to pierwsza myśl z jaką dziecko zdąża do przedszkola?) i wiedzą nauczycielki (zakładaną nie sprawdzoną) – ma się ni jak do siebie, ma się jako tako, do grzeczności.

Ps. Przepraszam za j. japoński w końcówce ale w afekcie nic lepszego nie przyszło mi do głowy.

avatar
Gość
Paweł Kasprzak

Odpowiedź kiedyś bywała oczywista, a dziś już nie jest. Po pierwsze to samo pytanie da się zadać w stosunku do większości tematów szkolnych lekcji i niezmiernie rzadko da się podać jakąkolwiek sensowną odpowiedź. Po co np. licealiście — każdemu — wprawa w rozwiązywaniu stechiometrychnych zadań z chemii. Czy każdy ma być gotowy do pracy np. inżyniera w rafinerii? Jeśli nawet tak, to byłby to kiepski inżynier, bo wbrew pozorom realizmu tych zadań, one się nijak mają do realnych problemów i realnych zjawisk (skąd np. dowiedzieć się, co w rzeczywistości i w jakich ilościach wydziela się w reakcjach?) i uczą wyłącznie… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Robert Raczyński

Thanks God for Latin… Myślę, że podstawowy kurs tego „martwego” języka zrobiłby więcej dla lingwistycznej kondycji społeczeństwa niż wszystkie hocki-klocki pedagogiczne w rękach przypadkowych ludzi i ich ustaw razem wzięte. No, ale po co, przecież pizzy się nie zamówi i dziewiczy umysł mógłby się zmęczyć…

avatar
Gość
Robert Raczyński

Żeby „nie zabijać w nim ciekawości”? Złudzenie pragmatyki wszelkiej wiedzy, ma się, jak widzę, bardzo dobrze…

avatar
Gość

Bo trafiają się dzieci, które to zainteresuje? Po co ludzie biegają na 42 km? Wspinają się na szczyty? Jaki z tego pożytek?
Po co dziecko piętrzy wieżę z klocków? Burzy ją jednym ruchem i znów wznosi?I powtarza to znów, i znów… Po co tnie na drobne kawałeczki kartkę papieru? I kolejną?
Po co szóstoklasista marzy o matematycznym konkursie?
http://www.poranny.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=%2F20141004%2FBIALYSTOK%2F140929592

avatar
Gość
Paweł Kasprzak

Aleśmy odpór dali! No… — to być może dla nas są oczywiste rzeczy, ale one wcale za takie nie uchodzą. Na marginesie wygrzebany stary tekst z Wyborczej o tradycyjnej szkole w nowoczesnej Szwecji:
http://wyborcza.pl/duzyformat/1,133687,14546129.html

avatar
Gość
ulka

No super wszystko mi się podoba. No jedyne to skoro jesteśmy takie nauczycielki do bani, to gdzie jakieś szkolenie z tej dziedziny, no proszę. Wymądrzać się każdy potrafi, a my jesteśmy otwarte, ale zero szkoleniem z matematyki dla nauczycieli z klas młodszych.

avatar
Gość
Robert Raczyński

Oczekuje Pani szkolenia z arytmetyki modularnej dla nauczania początkowego? Czy też nie zrozumiałem ironii? Nie chodzi o żadne wymądrzanie się, ale właśnie o brak otwartości, która chyba nie może polegać na oczekiwaniu na szkolenia… Na sensownym szkoleniu byłem chyba raz w swoim życiu zawodowym… Niech Pani nie traktuje tego wątku jako pretensji do wszystkich nauczycieli (nie cierpię generalizowania), tylko jako okazję do zastanowienia się, czy nie gubimy czegoś istotnego po drodze. Na przykład dzieciaka, który nie pasuje do poziomu założonego przez pp, bo takich mam wrażenie, odpuszczamy sobie łatwiej niż tych, który do tego poziomu nie dorastają.

avatar
Gość

Wpadłem tutaj na chwilę i na tę interesującą dyskusję. Mam pomysł, nie mój, stary, by zacząć z dziećmi od wprowadzenia arytmetyki zegarowej, która faktycznie jest arytmetyką modularną a do tego używamy jej niemal w każdej chwili. Nic nie szkodzi, że w tej arytmetyce z równości 6×3 = 6 nie wynika równość 3 = 1. Najmłodsi nie dzielą, wystarczy, gdy przekonamy ich do dodawania i mnożenia. A gdy połkną bakcyla, można przejść do 13 i do dzielenia (skracania). Bardzo ciekawym tematem może się okazać Chińskie Twierdzenie o Resztach, a raczej sposób reprezentowania dużych liczb przez układ kilku liczb (reszt). Tutaj kłania… Czytaj więcej »

avatar
Gość
ella

Dla mojego czteroletniego syna zadania matematyczne Z ELEMENTARZA to „łatwizna” jak sam twierdzi. Czasami zastanawiam się czy nie robię mu krzywdy. Co on będzie robił za dwa lata w szkole? Czy nie trafi na panią której będzie przeszkadzało to ze już dawno ma to już opanowane. Jak to wpłynie na jego motywację do rozwoju, poznawania nowych rzeczy? Niestety nie stać mnie na dzień dzisiejszy na dobrą prywatną szkołe w której do dzieci podchodzi się indywidualnie.Co robić?