Oś Świata/Kolokolo Bird

Wypływające kuleczki, czyli prawo Stokesa

17.06
2012

Dziś do mojej kolekcji w Akademii Uczniowskiej doświadczenie badające opór w cieczy lepkiej — prawo Stokesa. Dziękuję Marcinowi Zarodowi za przypomnienie mi tego tematu — doświadczenie wykonałem już dwa lata temu.

Grupa docelowa:
Gimnazjum i liceum.

Cele edukacyjne:
Hydrodynamiczny opór lepki (prawo Stokesa), lepkość, opływ laminarny i turbulentny, liczba Reynoldsa, odwołanie się do wielu prostych praw i zjawisk: wyporu płynu (prawo Archimedesa), równowagi sił, I zasady dynamiki, zależność prędkość-droga-czas, zależność ciężar-masa-gęstość-objętość, objętość kuli, przekształcenia i upraszczanie równań potęgowych, zależności kwadratowe i odwrotne kwadratowe, przedstawianie wyników na wykresach i skala logarytmiczna, zależność potęgowa wykreślona w skali logarytmicznej, regresja liniowa, metodologia pomiarów, analiza błędu systematycznego w pomiarach.

Lepkość i prawo Stokesa nie wchodzą w zakres podstawy programowej, jednak opis zjawiska (jeśli prawo Stokesa traktujemy czysto fenomenologicznie, a nie wyprowadzamy go) są na tyle proste, że doskonale nadają się do omówienia nawet w początku gimnazjum. Doświadczenie łączy wiele prostszych praw i zależności, będąc okazją do ich utrwalenia, przypomnienia i nadania im sensu użyteczności w innych działach fizyki.

Doświadczenie:
Mierzymy prędkość styropianowych kuleczek wypływających w wysokim naczyniu z olejem. Wyznaczamy zależność prędkości wypływania od średnicy kuleczki i porównujemy z zależnością wynikająca z prawa Stokesa, wyznaczamy stąd lepkość oleju.

Sprzęt:
– wysoki szklany cylinder — u nas była to długa na ok. 1m szklana rura o średnicy 4cm, zatkana u dołu korkiem i zamontowana na statywie laboratoryjnym;
– styropianowe kuleczki o różnych średnicach rzędu kilku mm;
– stalowy drut, trochę dłuższy niż cylinder;
– stoper (w telefonie);
– mikrometr lub suwmiarka;
– duża lupa;
– szczypce, pęseta;
– linijki, wodoodporny flamaster;
– komputer z programem do robienia wykresów i/lub papier milimetrowy i logarytmiczny-milimetrowy;
– komputer z programem do dopasowywania funkcji lub kalkulator do ręcznego policzenia regresji;
– Internet (Wiki) lub tablice stałych fizycznych;
– olej albo inny płyn o lepkości rzędu 0.1 Pa s (najtańszy olej spożywczy, może być olej techniczny); Sądzę (nie sprawdzałem), że bardzo dobrze mogłaby się sprawdzić woda z gliceryną — zmieniając proporcje możemy ustalić dowolną lepkość w bardzo szerokim zakresie, mniej byłoby też szans na poplamienie wszystkiego dookoła tłustymi plamami;
– cylinder miarowy o objętości 100-200 cm³ i waga;
– przyda się też termometr.

Doświadczenie:
Przy pomocy cylindra miarowego i wagi wyznaczamy gęstość oleju.
Cylinder napełniamy olejem. Zaznaczamy na nim flamastrem dwie linie: kilka cm nad dnem (start) i kilka cm pod powierzchnią (meta), mierzymy odległość między tymi liniami. Drut na końcu wyginamy szczypcami w małą pętelkę, prostopadłą do osi drutu. Garść styropianowych kuleczek (używane są do różnych celów technicznych) przeglądamy pod lupą i wybieramy kilkanaście z nich, o różnych rozmiarach od najmniejszych (około 1mm) do około 1cm i możliwie kulistym kształcie (sporo kuleczek ma wykruszenia lub jest zdeformowane). Mierzymy średnice kuleczek — najwygodniejszy jest mikrometr, ale może być i suwmiarka. Uważajmy tylko, żeby nie zgnieść kuleczek podczas pomiaru. Kuleczkę kładziemy na powierzchni oleju i pętelką z drutu wpychamy ostrożnie aż na dno. Wymaga to odrobiny zręczności — na początku zapewne kilkukrotnie kuleczki nam uciekną — ale nie jest bardzo trudne. Gwałtownym ruchem drucika wypuszczamy kuleczkę, a druga osoba mierzy czas, w jakim wypływając pokonuje ona dystans zaznaczony na naszym naczyniu.

Dyskusja:
Wyjaśniamy definicję lepkości i dyskutujemy (raczej tylko jakościowo) o jej molekularnych źródłach.

Sporządzamy wykres zebranych danych: czas wypłynięcia w zależności od średnicy kuleczki. Wyliczamy jaka siła wyporu działa na kuleczkę (znamy jej średnicę i gęstość oleju, na razie możemy założyć, że styropian jest zaniedbywalnie lekki). Siła ta musi równoważyć się z siłą oporu daną prawem Stokesa $F=3\pi\eta dv$, gdzie $\eta$ jest współczynnikiem lepkości oleju, $d$ średnicą kuleczki, a $v$ prędkością. Wyliczamy (rozwikłujemy) teoretyczną zależność czasu wypływania kuleczki od jej średnicy. $T\propto d^{-2}$ Porównujemy to z zebranymi danymi. Robimy wykres w skali logarytmiczno-logarytmicznej. Przy pomocy regresji liniowej i/lub programu minimalizującego znajdujemy wartość $\eta$ odpowiadającą naszym zebranym danym. Porównujemy to z wartością tablicową współczynnika lepkości dla oleju — dla gliceryny i olejów technicznych znajdziemy dokładne wartości, dla roślinnych olejów spożywczych lepkość w temperaturze pokojowej typowo wynosi $\eta=80\sim 120\cdot 10^{-3}{\rm kg\,m^{-1}\,s^{-1}}$.

Turbulencje:
Zauważamy, że największe kuleczki (rzędu 1cm) poruszają się lekko nieregularnie. Wyliczone dla nich czasy wypłynięcia odbiegają od przewidywań. Dyskutujemy przejście pomiędzy opływem laminarnym a opływem turbulentnym. Pokazujemy ilustracje takiego opływu (nie udało mi się w przekonywujący sposób pokazać go na żywo w warunkach domowego laboratorium). Wyliczamy liczbę Reynoldsa dla naszych kulek. Powtarzamy wyliczenie współczynnika lepkości po odrzuceniu wyników pochodzących od największych kulek.
Uwaga: graniczna wielkość kulek, przy której opływ laminarny przechodzi w turbulentny to około $30{\rm mm}\cdot\left(\eta\cdot{\rm kg^{-1}ms}\right)^{2/3}$ — dla oleju o lepkości $0.1{\rm kg\,m^{-1}\,s^{-1}}$ daje to ponad 6mm. Dla zobaczenia wyraźnych turbulencji powinniśmy prowadzić pomiary aż do kuleczek powyżej 1cm średnicy. Dla trochę rzadszego oleju zauważymy turbulencje już przy trochę mniejszych średnicach.

Gęstość styropianu:
W wyliczeniach założyliśmy, że styropian jest nieważki. Może jednak powinniśmy uwzględnić jego gęstość? Przekształcamy wzory tak, żeby zobaczyć w jaki sposób gęstość styropianu wpłynie na wynik. Zadanie dla ucznia: jak najprościej wyznaczyć gęstość kuleczek styropianowych?
Jest sporo metod, moja uczennica wymyśliła bardzo elegancką: do zlewki z wodą nasypać na wierzch kilka garści kuleczek i zobaczyć, jak głęboko dno tej warstwy kuleczek zagłębi się pod wodą. Nawet nie trzeba ważyć: od razu mamy proporcję gęstości styropianu do gęstości wody.
Wprowadzamy tę poprawkę do naszych wyliczeń.

Temperatura:
Lepkość oleju dramatycznie zależy od temperatury. Jeśli możemy, to powtarzamy pomiary (może być z tylko jedną kuleczką) w różnych temperaturach. Myśmy większość pomiarów prowadzili w temperaturze pokojowej, ale potem wystawiliśmy naszą rurę z olejem na balkon (temperatura na zewnątrz wynosiła około 5°C), olej chłodził się w czasie naszej dyskusji, a na koniec zajęć zrobiliśmy kilka pomiarów z zimnym olejem.
Dyskutujemy zależność lepkości od temperatury — niech uczniowie sami znajdą spektakularne przykłady z życia codziennego. Pilnujmy tylko w tej dyskusji, by nie mylili zmniejszania lepkości z temperaturą z topieniem się ciał stałych.

Inne błędy:
Dyskutujemy wszelkie inne (niech uczniowi sami wymyślą co to może być, choćby ruch kulki w pobliżu ścianek rury, zaburzenie wywołane naszym drucikiem, wpływ tego, że rura ma skończoną średnicę, a prawo Stokesa dotyczy ruchu kuli w nieograniczonym ośrodku) możliwe źródła błędów, pomysły na ich wyeliminowanie lub przynajmniej oszacowanie.

Dygresja:
Opowiadamy o doświadczeniu Millikana (wyznaczenie ładunku elektronu) — bardzo podobnym do naszego, tyle że z mikroskopijnymi kuleczkami, poruszającymi się w powietrzu pod wpływem siły elektrostatycznej, działającej na na ładunek jednego elektronu.

Co zrozumieliśmy z lekcji:
Obserwujemy szklankę wody mineralnej albo innego gazowanego napoju. Czy bąbelki odrywające się od dna szklanki wypływając poruszają się ruchem laminarnym, czy turbulentnym?

3
Dodaj komentarz

3 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
avataravatar Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
avatar
Gość
Marcin Zaród

1. Ja bym od razu łączył lepkość z aerodynamiką – czyli profil skrzydła, schematy sił itd. Aby uczniowie rozumieli, że woda i powietrze to w sensie reologicznym płyny. Proste doświadczenie z cyklu który stożek spadnie szybciej. Dla młodszych dyskusja na temat profilu aerodynamicznego bolidu Kubicy, Małysza i syrenki. 2. My robiliśmy z barwnikami (farbki plakatowe, potem jakieś dedykowane barwniki do hydrodynamiki) w większych akwariach. Działało całkiem nieźle. 3. Przy okazji Millikana powiedzieć o kolejnych poprawkach tego pomiaru z Feynmanna, aby nie zrozumieli, że fizykę robią ludzie. I wspomnieć o tym, że lepkość krwi to do dzisiaj jeden z największych problemów… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Marcin Zaród

Xawer:

2. Tak. Najlepszy jest jakiś barwnik niemieszalny w wodzie.

6. Okręt! Te podwodne to okręty.

Pióra śrub są oczywiście związane m.in. z kawitacją i rodzajami przepływów i szczególnymi rozwiązaniami N-S – tak samo jak w wiatrakach energetycznych. Przy okazji Artur Różański (mój kopromotor) ma piękną pracę w Nature nt. kawitacji w polimerach. Wnioski są cudownie paradoksalne – im czystszy polimer tym kawitacja większa!

A komentarz dołączaj gdzie potrzebujesz – tu chodzi o dobro wspólne.