Oś Świata/Moja oś świata

Posts Tagged ‘matematyka’

11.11
2018

Czy mało liczne klasy są lepsze?

Odpowiedź twierdząca wydaje się oczywista. Przekonani są o tym nauczyciele i rodzice. Nauczyciele wolą uczyć mniejsze klasy, bo mają więcej czasu dla indywidualnych uczniów, rodzice wybierają dla dzieci szkoły prywatne, bo z reguły maja mniejsze klasy. Przyjęło się sądzić, że najlepsza liczba uczniów w klasie to około 16, tak jak mała grupa warsztatowa.

Jednak badania nie potwierdzają naszego przekonania. Profesor John Hatii uważa, że samo zmniejszenie liczebności klasy ma bardzo mały wpływ na wyniki uczniów – 0,21. W „skali” Hattiego interwencje, które się opłacają mają co najmniej 0,4  i tak np. przekazywanie uczniowi przez nauczyciela informacji zwrotnej – 0,73; doskonalenie nauczycieli – 0,62.Odsyłam do książki Johna Hattiego – Widoczne uczenie się uczniów dla nauczycieli.

O co tu chodzi?

W tym artykule przytoczę jeszcze inne badania wykonane ostatnio w USA. Ale zanim to zrobię postaram się pospekulować samodzielnie. Dlaczego mylimy się w naszej opinii?

czytaj więcej…

22.09
2018

Cztery pomysły pomagające w nauczaniu, część trzecia – Znaczenie pojęć

Bardzo często nauczyciele używają pojęć, które dla nich są już oczywiste, ale dla uczniów są całkiem nowe i w języku potocznym mają zupełnie inne znaczenie. Szczególnie to widać w przypadku pojęć matematycznych. Matematycy ustalili pewien język, ale pamiętajmy, że dla ucznia nie jest on intuicyjny. Weźmy choćby przykład pojęcia „pierwiastek równania”. Dlaczego „pierwiastek”? Pojęcie „pierwiastek” dziecku nie kojarzy się z niczym, a starszemu uczniowi jedynie z pierwiastkiem arytmetycznym, który z pojęciem pierwiastka równania nie ma nic wspólnego.

Inny przykład to ułamki. Dla ucznia poznającego ułamki pojęcie 1/3 jest kompletnie nieintuicyjne, bo jak złożyć w całość: 1 to „jedna książka”, 3 to „trzecia dziewczynka”, a razem? Ten przykład zaprezentowany przed laty przez Witolda Szwajkowskiego, otworzył mi oczy na to, że my dorośli zakładamy, że dzieci urodziły się z językiem matematycznym, a on został wymyślony na użytek nauki i nie jest intuicyjny.

Warto poświęcić czas na głębsze zrozumienie przez uczniów pojęć, którymi się posługują.

Jak to można zrobić?

Uczniowie mogą:

  • porównywać nowe pojęcie z pojęciami, które już znają,
  • zgadywać znaczenie pojęcia,
  • podawać przykłady tego, czym jest dane pojęcie i kontrprzykłady – czyli tego, czym na pewno nie jest,
  • próbować budować własną definicję, używając języka potocznego,
  • budować zdania z danymi pojęciami,
  • określać pojęcie własnymi słowami,
  • układać zadania z pojęciami,
  • pokazywać w niewerbalny sposób znaczenie pojęcia.

Szczególnie ważne jest wprowadzanie pojęć. Musimy zadbać, aby nie było ich za wiele na raz, bo uczniowie będą w stanie ich sobie utrwalić. Np. jeśli na jednej lekcji mówimy o „różnicy”, „sumie”, „odjemnej”, „odjemniku”, „składnikach”, to może być za dużo.

Pokażę kilka przykładów wprowadzania pojęć matematycznych.

Liczba pierwsza:

Najpierw sami zastanówmy się, dlaczego matematycy nazwali liczby pierwsze pierwszymi? Dlaczego one są „pierwsze”, a nie „drugie”? Jeśli nie umiemy tego wyjaśnić to także lekcja pokory dla nas.

Teraz pomysł: na tablicy piszemy w dwóch kolumnach liczby. W pierwszej np.: 2. 5, 17, 31, 41, 59, a w drugiej np.: 4, 16, 33, 81, 122. Teraz prosimy uczniów, aby w parach znaleźli różnice pomiędzy kolumnami. Tak dochodzimy do definicji liczby pierwszej i prosimy uczniów, aby zapisali w zeszycie po 10 przykładów liczb pierwszych.

Prostokąt:

Nauczyciel wprowadza pojęcie prostokąta. Rysuje na tablicy przykłady prostokątów oraz, w innym miejscu, przykłady figur nie będących prostokątami. Nauczyciel pyta uczniów, dlaczego figury narysowane jako pierwsze nazwano prostokątami?

Ostrosłup prawidłowy:

Nauczyciel wprowadza pojęcie ostrosłupa prawidłowego. Pokazuje uczniom bryły, które nie są ostrosłupami prawidłowymi i prosi uczniów, aby powiedzieli, dlaczego te bryły nie pasują.

Własności czworokątów:

Nauczyciel utrwala własności czworokątów. Rysuje różne przykłady czworokątów i zadaje szereg pytań typu: „Które z tych czworokątów mają dwa równe kąty”, „Które z nich maja dwie osi symetrii” itp. Uczniowie wskazują właściwe czworokąty.

Kategoryzowanie i porównywanie jest bardzo dobrym sposobem na zapoznanie się ze znaczeniem pojęć. Można przedstawić uczniom różne pojęcia i poprosić ich o sporządzenie kategorii i zamieszczenie w nich prezentowanych pojęć. Tworzenie przez uczniów kategorii jest lepsze niż ich podawanie.

Konkluzja: Poświęć czas na dogłębne zrozumienie znaczenia używanych pojęć.

 

07.09
2018

Cztery pomysły pomagające w nauczaniu. . 1. Pozwolić uczniom przedyskutować problem

Pozwolić uczniom przedyskutować problem

W nauczaniu matematyki nauczycielowi  zależy na tym, aby uczeń samodzielnie i sam rozwiązywał zadanie.

„Samodzielnie” oznacza, że nie dajemy uczniowi gotowych wzorów rozwiązań. Pozwalamy mu zastanowić się i poszukać własnego rozwiązania. Jest to bardzo ważne w nauczaniu matematyki, ponieważ podawanie uczniom gotowych rozwiązań do naśladowania (możliwe, że wtedy szybciej uporają się z rozwiązaniem), powoduje, że w przyszłości uczeń będzie umiał jedynie odtworzyć tok rozumowania, a po pewnym czasie prawdopodobnie zapomni prezentowaną procedurę. Jeśli sam znajdzie rozwiązanie, to będzie to jego rozwiązanie, które zapamięta i być może z powodzeniem zastosuje w innej sytuacji. Jako przykład świadczący o nieskuteczności uczenia schematów, mogę przytoczyć uczenie procentów przy pomocy proporcji. Spotkałam wiele osób dorosłych, które pamiętały, że trzeba zrobić proporcję, ale zapomniały, jak ona wygląda.

Co znaczy, że uczeń rozwiązuje zadanie „sam”? Przeważnie nauczyciel poleca rozwiązanie zadania i daje uczniom czas na zastanowienie się, często pilnuje, aby uczniowie od siebie nie ściągali, czyli nie przepisywali gotowego rozwiązania od innego ucznia. Ten sposób pozbawia ucznia możliwości przedyskutowania problemu i lepszego jego zrozumienia.

Dlaczego nie polecić uczniom wspólnej rozmowy nad zadaniem i wspólnego poszukiwania rozwiązania?

Mogę zrozumieć taki tok postępowania, gdy w grę wchodzi sprawdzian podsumowujący. W czasie procesu uczenia się, gdy uczniowie dopiero poznają temat, warto dać im szansę na przedyskutowanie i analizę problemu. Często w tej dyskusji jeden z uczestników będzie „mądrzejszy” od drugiego, ale korzyść z rozmowy będą mieli obaj. Ten „mądrzejszy” będzie miał szansę na podzielenie się swoją wiedzą, czyli utrwali ją sobie. Okazuje się, że ucząc kogoś, uczymy się my sami. A uczeń „słabszy” nauczy się czegoś i zrozumie lepiej problem. Badania edukacyjne pokazują, że uczeń więcej uczy się od rówieśników  niż od nauczyciela.

Co to jednak znaczy przedyskutować problem, np. w przypadku polecenia rozwiązania zadania? Czasami uczniowie nie rozumieją pojęć zawartych w zadaniu, ale boją się powiedzieć o tym nauczycielowi. Dużo łatwiej wyjaśnić je sobie w parze lub w grupie rówieśniczej. Często uczniowie nie pojmują, na czym polega problem w zadaniu. Weźmy przykład polecenia: „rozwiąż równanie”. Czy uczniowie naprawdę wiedzą, co oznacza „rozwiązanie równania”? Często automatycznie wykonują pewne operacje i znajdują tak zwany – x. Gorzej, jeśli zamiast x ustalimy jako zmienną np. d. Który z uczniów tak naprawdę wie, że to rozwiązanie – ten „x” po wstawieniu do równania ma dać 0=0? Konsekwencje tej niewiedzy mogą być potem katastrofalne, bo uczeń za rozwiązania uznaje te liczby, które z założenia np. nie należą do dziedziny równania.

W dyskusji nad problemem nauczyciel może pomóc pytaniami np.:

  • Jaki mamy w tym zadaniu problem?
  • Co dla was będzie rozwiązaniem tego problemu?
  • Co oznacza polecenie, czego szukamy?
  • O co tu naprawdę chodzi?

Konkluzja 1: Samodzielnie, ale nie samotnie.

Wielu nauczycielom szkoda czasu na dyskusję i pracę w grupach. Wydaje nam się, że podanie gotowego schematu przyspieszy problem i pozwoli uniknąć pomyłek. Faktycznie, oszczędzimy czas, ale ten zysk jest krótkotrwały. Udaje się zrobić więcej, ale nie głębiej, czyli przelatujemy materiał powierzchownie i nie ma on szans na zakotwiczenie się w umysłach naszych uczniów.

Konkluzja 2: Lepiej mniej, a głębiej.

Druga sprawa to unikanie błędów uczniowskich. Bez popełniania błędów człowiek niczego się nie nauczy. Błąd jest nieodzownym elementem procesu uczenia się.

Konkluzja 3: Nie unikać błędów, tylko wykorzystywać je w procesie uczenia się.

31.01
2018

Balon – Przydatność

Celem szkoły jest przygotować człowieka do dorosłego życia. Skonfrontujmy to z programem szkolnym. Eksperci ustalili, czego mamy uczniów uczyć w szkole. Jeśli po latach zastanowimy się, co z tego, czego nas uczono, przydaje się nam dziś, to konkluzja będzie druzgocąca. Ale ten balon – „szkoła uczy potrzebnych rzeczy” – ma się całkiem dobrze.

Uczono nas od pokoleń niepotrzebnych rzeczy i my też to robimy. Ufamy ekspertom i podręcznikom. Eksperci mówią: „Każdy wykształcony człowiek musi to wiedzieć!”. A balon fruwa, bo sami widzimy, że wielu z nas czegoś nie wie i żyje całkiem dobrze. Wystarczy prześledzić losy znanych ludzi i od razu widać, że nie stali się wielcy z powodu dobrego kształcenia w szkole. Znamy też argumenty typu: „Jeśli tego teraz nie pozna, to nie da sobie rady na studiach”. Ale przecież nasz uczeń nie będzie studiował wszystkiego, tylko pewien zakres wiedzy na wybranym wydziale i jeśli umie się uczyć, to sam znajdzie potrzebne mu informacje. Zastanówcie się, komu z Was w życiu przydały się np. logarytmy, znajomość lewych dopływów Wisły, albo układu krwionośnego żaby?! Pewnie pomyśleliście, że coś ze mną nie tak. Uczyłam przez wiele lat logarytmów i to niezależnie, czy moi uczniowie wybierali się na studia techniczne, czy humanistyczne. Może od tego pustego balonu w głowie mi się pomieszało? Gdybym zaprzestała uczenia logarytmów, to konsekwencje byłyby dla mnie okropne – musiałabym odejść ze szkoły, bo przecież nauczyciel nie może zastanawiać się, co jest przydatne, on ma uczyć tego, co zatwierdzili specjaliści.

Na początku mojej kariery zawodowej uczyłam przez 12 lat studentów na Politechnice Warszawskiej, dopiero potem zaczęłam uczyć w szkole. Jednym z tematów moich lekcji było twierdzenie sinusów i cosinusów. Pochyliłam się nad tym i z przerażeniem zauważyłam, że nie wiem, o czym te twierdzenia mówią. Prawdopodobnie nie było mnie w szkole, gdy uczniowie przerabiali te twierdzenia, a jednak udało mi się zdać egzamin na matematykę, skończyć studia, a nawet uczyć studentów matematyki. Pewnie powiecie: „miała szczęście!”. Oczywiście tak, ale jakoś udało mi się żyć szczęśliwie bez tego twierdzenia, podejrzewam, że większość z Was już go teraz nie pamięta. W dobie internetu z łatwym dostępem do informacji, powinniśmy stawiać na umiejętności kluczowe (balon 3), a nie na realizację programu.

Ten balon jest naprawdę zadziwiający. Czy próbowaliście kiedyś rozwiązać egzamin np. gimnazjalny? Ja próbowałam i dobrze mi idzie tylko z matematyki, pozostałych części bym nie zdała. Powiecie – „To się zapomina.”. I macie rację, ale może warto uczyć tego, czego się nie zapomina, bo się przydaje. Matematyka jest bardzo dobrym przykładem, bo jest „gilotyną” na różnych egzaminach – zawsze można wymyślić takie zadania, aby prawie nikt nie zdał. I jak tu lubić szkołę, jeśli uczą w niej niepotrzebnych i nieciekawych rzeczy?

Jak ciężko mają nauczyciele, którzy muszą się zmieścić pomiędzy obowiązkiem, a potrzebą.

23.10
2016

Zapisywana refleksja na lekcjach matematyki

Na stronie: MiddleWeb, przeczytałam wpis amerykańskiej nauczycielki Michelle Russell pod tytułem: Czy na lekcjach matematyki potrzebujemy więcej pisania?

Zainteresował mnie z dwóch powodów. Jeden to, że jestem głęboko przekonana, że podejście refleksyjne do uczenia się, a też zapisywanie swoich refleksji jest  niezbędne dla procesu uczenia się. Dlatego jestem bardzo  za pisaniem przez uczniów podczas lekcji matematyki. A po drugie leży mi na sercu to, aby uczeń umiał wytłumaczyć swój tok myślenia. Uważam, że samo „dobre rozwiązanie” problemu nie wystarcza, uczeń musi wiedzieć, jak do czegoś doszedł, a czasami też warto zapytać, czy nie była możliwa inna lepsza droga.

czytaj więcej…

15.04
2016

Nastawnicy w Polsce, 14 kwietnia 2016. Pytania na myślenie!

Jak co roku, gościliśmy w CEO nastawników z Białorusi. Nasza współpraca trwa już 8 lat! Białoruscy nauczyciele podchwycili natychmiast OK-eja i mają własne do niego podejście. Wielu z nich otrzymało tytuł nauczyciela roku. Droga do poznania oceniania kształtującego na Białorusi biegnie głównie przez kursy internetowe i konferencje w Mińsku.

czytaj więcej…

08.04
2016

Debata matematyków w MEN

Debata matematyków w MEN, 6.04.2016

Zanim przejdę do opisu spotkania, podam moje przemyślenia, z którymi podzieliłam się z uczestnikami spotkania. Przed spotkaniem zadałam sobie pytanie: Co jest najważniejsze w nauczaniu matematyki? Doszłam do wniosku, że nie są ważne treści, bo one są z biegiem czasu zapominane, ważne jest – Jak uczymy. Moim zdaniem istotne są trzy aspekty:

  1. Samodzielne dochodzenie do rozwiązania problemu.
  2. Umiejętność przedstawienia rozumowania.
  3. Umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy w życiu.

To zaś na jakich treściach będziemy to osiągać jest drugorzędne. Pierwszoplanowe są METODY prowadzące do osiągnięcia tych celów.

czytaj więcej…

23.03
2016

Praktyki Współpracy Nauczycieli

Chciałam podzielić się sposobem na praktykowanie wirtualne praktyki pt.: Rozwijania Lekcji (RL).

W skrócie jest to wspólne planowanie lekcji, przeprowadzanie jej z uczniami z obserwacją pozostałych nauczycieli, wspólne omawianie i powtórne przeprowadzanie….

W efekcie powstaje na prawdę dobra lekcja. Po pierwsze jest zaplanowana wspólnie, a co wiele głów, to nie jedna, a po drugie jest udoskonalana poprzez przeprowadzenie kolejnych scenariuszy, ich omawianie i zmienianie.

czytaj więcej…

07.02
2016

Nie idę dalej….

Zamieściłam w grupie ocenianieksztaltujace na FB wpis:

Uczenie uczniów schematów i pod egzamin powoduje, że uczniowie przestają rozumieć matematykę. Oto dwa przykłady:
• Maturzystka otrzymała do rozwiązania równanie: x + 3 = 2x – 5, spytała: Który x mam wyliczyć?
• Gimnazjalista z drugiej klasy spytał, czy w równaniu x-1 = ab znak równa się „dotyczy tylko iksa, czy x-1”.
Nie dziwię się uczniom, widocznie maja zaległości niezrozumienia sięgające początków matematyki. Jak to się stało, że dotarli tak daleko i nikt im tego nie wyprostował?
To jest II strategia OK – sprawdzać, gdzie są moi uczniowie i nie iść dalej, gdy oni nie są na to gotowi.

Natychmiast wywiązała się dyskusja, która oscylowała wokół dwóch zagadnień:

  1. Nie da rady czekać na uczniów, bo nauczyciela goni program, który musi zrealizować.
  2. Uczyć bez podręczników.
18.09
2015

18 września ukazał się Gazecie Wyborczej artykuł Krzysztofa Łakwy:  „Dlaczego dzieci przestają lubić matematykę”:

http://wyborcza.pl/1,75478,18845215,dlaczego-dzieci-przestaja-lubic-matematyke-bo-nauczyciele-nie.html

Polecam, wiele znanych przyczyn podano, ale też kilka mniej oczywistych.

Mam tylko jedno pytanie, dlaczego autorzy podręczników nie piszą ich tak, aby nauczyciele mogli ciekawie nauczać?

Nie chciałabym dyskutować na ten temat, że podręczniki nie są potrzebne, bo faktycznie lepiej byłoby bez takich podręczników. Ale jeśli już są, to dlaczego nie są dobrą pomocą dla nauczycieli?