avataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravataravatar
Oś Świata/Moja oś świata

Korzyści z odrabianek

16.02
2013

Wróciłam do pomagania dzieciom z Pragi w „odrobiankach”, czyli odrabianiu lekcji z matematyki. Szczerze mówiąc, to nie wiem kto komu pomaga, bo ja się przy tym dużo uczę. Dzieci z tamtej okolicy są bardzo szczere, więc można liczyć na szybką informację zwrotną. Jak ich coś nudzi, to się nie krępują o tym mówić, jak coś jest bez sensu, to się buntują. Tym razem nauczyłam się dwóch rzeczy:

  1. Zadawanie dzieciom prac domowych polegających na zrobieniu 20 zadań na prędkość  jest całkowicie bez sensu.
  2. Można spotkać ciekawy typ zadania i szkoda, że nie ma takich więcej.

Ad a: Umówiłam się z szóstoklasistką, której zależy na zdaniu w kwietniu sprawdzianu po 6 klasie. Myślałam, że może przyjrzymy się temu egzaminowi i zastanowimy się, co należy powtórzyć. Ale okazało się, że dziewczynka ma zadanych 20 zadań na prędkość. Prawdopodobnie miała je zadane pewien czas temu, ale jak nie trudno się domyślić,  zabrała się za nie dzień przed.  Trudno wymagać od 13-latki, żeby planowała swoją naukę i codziennie przez dwa tygodnie rozwiązywała po 2 zadania. Zadania były sztampowe, samochody się przemieszczały w czasie, rowerzyści jechali z prędkością, biegacze biegali kilometrami po bieżni. Co tu nowego wymyślić? Tłukłyśmy te zadanka, szło nam nieźle, ale okazało się, że największe problemy dziewczynka ma z … tabliczką mnożenia. Pewnie pani od matematyki przeszła za szybko okres przerabiania tabliczki. Ciągnie się ta tabliczka za dzieckiem, ciągnie. A tu straszy egzamin i nie ma jak pochylić się nad mnożeniem, trzeba liczyć prędkości.

Dziecko nie chce robić czego innego niż to, co pani zadała. Wie, że od tego zależy stopień z klasówki. Wierzy, że pani zadając pracę domową wie co robi i gwarantuje, że dzięki temu egzamin dobrze pójdzie.

Straszny jest ten taniec wokół egzaminu.

Ad b. Ostatnie zadnie brzmiało jakoś tak: Marek biegnąc przez godzinę na bieżni z szybkością 8 km/h traci 40 kcal. Ile straci kalorii, gdy będzie biegł pól godziny?

Jak sadzę pomijamy pytanie,  czy tracenie kalorii jest liniowe w czasie. Widać, że informacja o prędkości nie jest potrzebna.

Wolałabym zadanie: Samochód jadąc przez godzinę z prędkością 50 km/h spala 2 litry benzyny, ile spali przez pół godziny.

Podoba mi się to zadanie, gdyż pokazuje, że nie wszystkie informacje są nam potrzebne do odpowiedzi. W życiu spotykamy natłok informacji, z których trzeba wybrać właściwe. W szkole zaś wszystkie informacje zawarte w zadaniu są zawsze potrzebne. Uczeń czytając treść powyższego zadania od razu uruchamia wzór na prędkość i widzi, że coś nie jest tak. Najchętniej więc zostawia takie zadanie, bo obawia się, że źle myśli.

Wydaje mi się, że powinniśmy rozwiązywać więcej takich zadań, aby nie myśleć wąskotorowo, czyli szkolnie. To zadnia jest oczywiści bardzo proste, ale dobrze by było potrenować wybieranie spośród podanych informacji, tylko te co są potrzebne?

Na koniec odrabianek dziewczynka bardzo sprawnie rozebrała gramatycznie kilka zdań. Zupełnie bez mojej pomocy, ale z moim zachwytem. Pohamowałam się przed zadaniem pytania uczniowskiego: A na co to komu?

Podziel się ze znajomymi

74 komentarze do “Korzyści z odrabianek

  1. Rozbiór gramatyczny: czy nie widzisz, Danusiu, dużej zbieżności pomiędzy zasadnością pytania o sens rozbioru gramatycznego zdań, a pytania o sens liczenia ceny spodni po przecenie?

    Ad. ad. b (zadanie z częścią danych niepotrzebnych):
    tu masz pełną moją zgodę i poparcie!
    Jedną z najgroźniejszych głupot szkolnych zadań z matematyki (fizyki…) jest ich zupełność. Uczniowie są (i słusznie) przekonani, że w zadaniu szkolnym wszystkie podane liczby trzeba wykorzystać. Więc po prostu zgadują, jaki wzór z ostatnio przerabianych da się wypełnić liczbami podanymi w zadaniu. Taka strategia gwarantuje całkiem niezłe wyniki na egzaminie gimnazjalnym (podejrzewam, że na sprawdzianie podstawówkowym też)

    Przykład, jaki dałaś (tu znów się zgodzę, ze samochód byłby lepszy) od tego odchodzi i zmusza do zastanowienia się (choć odrobinę) nad sensem, zamiast grać w numerologię podstawiania do wzoru.

    Ale tu wracamy do mojego pytania o aksjologię: czy szkoła ma przygotowywać do zdawania egzaminów przez jak najwyższy odsetek dzieci (w takim razie to zadanie jest błędne i szkodliwe), czy ma uczyć rozumienia świata (tu jest ok)

    • Ksawery
      1. Widzę wielką różnicę, szczególnie gdy chcę te spodnie kupić. A jeszcze większą, gdy zamiast spodni wstawiam samochód.
      2. W przypadku odrabianek nie zajmuję się aksjologią.
      Danusia

      • 2.)
        Nie możesz nie zajmować się aksjologią. Nie zajmując się nią i odsuwając pytanie o aksjologię, a po porostu „odrabiając lekcje” przyjmujesz milcząco aksjologię państwowej szkoły: celem nauki jest zdanie egzaminu na minimalnym poziomie przez jak największa liczbę uczniów.

        Więc powinnaś potępiać takie zadania: one (w tej aksjologii) są przeciwskuteczne. Dla maksymalizacji zdawalności testów z bzdurnych zadań należy tłuc bzdurna zadania, a nie mieszać w głowach zadaniami, w których trzeba nad czymkolwiek pomyśleć.

  2. Istnieje kilka możliwych podejść do tabliczki mnożenia. Jednakże przede wszystkim nie wydaje mi się, żeby jej nieopanowanie w jakimkolwiek stopniu uniemożliwiało pojęcie sensu ruchu, zrozumienie istoty stałych proporcji i ich stałej względności itd. – czyli wszystkiego tego, co niby tkwiło w odrabianych tutaj zadaniach. Tabliczka mnożenia okazuje się potrzebna nie do tego, żeby cokolwiek zrozumieć, ale wyłącznie do tego, żeby rozwiązać zadania. No i – co to właściwie znaczy „pochylić się nad mnożeniem”, nie wspominając o tym, że mnożenie i tabliczka mnożenia, to jednak niezupełnie to samo.

    Tabliczkę mnożenia można dawać dzieciom do wkucia, co się często robi. Tabliczka mnożenia jest przy tym w oczywisty sposób niezbędna każdemu człowiekowi, a wymyślić inny niż „zakucie” sposób jej przyswojenia jest bardzo trudno, więc robimy z dziećmi to, co robimy. Wydaje się nam więc ona jednym z owych oczywistych, bolesnych (umiarkowanie, mamy nadzieję) elementów elementarnej edukacji: trudno – myślimy najczęściej – to jedna z tych rzeczy, przez którą trzeba przejść. Otóż mnie się to wydaje mniej oczywiste. Przede wszystkim trzeba moim zdaniem pamiętać o sporym ryzyku, które się wiąże z uporem w ćwiczeniu dzieci w tabliczce mnożenia. To się szybko staje nieprzyjemne i powoduje blokady – myślę, że nie ma po co rozwijać tego tematu. Pytanie, czy ryzyko jest warte korzyści. Moim zdaniem nie jest.

    Jeśli opanowanie tabliczki mnożenia uznać za pamięciową rzecz, kompletnie niezwiązaną z rozumieniem czegokolwiek (tak nie musi być, choć w odróżnieniu od innych pojęć związanych z matematyką – może), to tu zastosowanie znajdują np. Marzeny spostrzeżenia o uczeniu utajonym. One są w sumie niby zbieżne z metodyką a la Semadeni, bo polegają na gromadzeniu doświadczeń. Różnica polega na postulowanym przez Marzenę odkrzesłowieniu, które akurat w tej grupie ćwiczonych w szkole umiejętności ma zasadnicze znaczenie. Ileś angażujących dzieci gier może tabliczki mnożenia uczyć przy okazji.

    Jeśli mamy na myśli kogoś, kto z racji własnych preferencji matematycznie rozwijać się nie będzie i komu tabliczka mnożenia służyć będzie w codziennych sytuacjach zamiast kalkulatora, można zupełnie spokojnie założyć, że się jej nauczy w miarę potrzeb. Tu uwaga, która wydaje mi się niezbędna – to powinny własne potrzeby zainteresowanego, a nie narzucane mu przez kogoś, kto mówi mu, co mu potrzebne będzie. Rozróżnienie jest ważne z powodów, o których tu co i raz przypomina Marzena: chodzi po prostu o wewnętrzną motywację, która w uruchomieniu procesów poznawczych jest jedynym skutecznym warunkiem (choć sam wiem, że kilku rzeczy, które umiem, nauczono mnie przemocą i wbrew mojej woli). Chcę w każdym razie powiedzieć, że gdyby w szkole przynajmniej coś było w porządku, to mogłoby się zdarzyć, że potrzeba (wewnętrzna) poznania tabliczki mnożenia mogłaby się pojawić w umyśle ucznia jeszcze w trakcie szkolnej nauki, np. na jakichś ciekawych zajęciach typu laboratoryjnego.

    Można wreszcie próbować pokazywać dzieciom rozmaite tkwiące w liczbach struktury, jak to robili Grecy, szukać jakichś ogólności itd. Rozmaite liczby doskonałe, czy jak to się tam nazywa, regularności uzyskiwane dzięki systemom liczbowym lub istniejące niezależnie od nich. Jakieś zabawki typu sito Erastotenesa itd. To dla tych dzieci, które są się w stanie takimi skądinąd dziwacznymi rzeczami zainteresować. Ja ze swoimi dziećmi wykorzystywałem rozmaite tajemnicze kody i szyfry, żeby je skłonić do liczenia, co łączyło oba te podejścia – po pierwsze prowokowało do wykonywania obliczeń w celu, który je obchodził, a po drugie dawało okazje do odkrywania różnych rzeczy.

    To się po pierwsze da zrobić, a po drugie i ważniejsze – nie ma żadnego powodu, by się koniecznie „pochylać nad tabliczką mnożenia” koniecznie na tym, a nie na innym etapie rozwoju. Przy pierwszym oporze dziecka, natychmiast dałbym spokój, bo szkody mogą być znaczne, a korzyść i tak przyjdzie – jak nie teraz, to za chwilę, przy innej okazji. Byle ten rozwój w ogóle następował i miał cokolwiek wspólnego z własnymi potrzebami dziecka – rzeczy takie, jak tabliczka mnożenia zostaną opanowane. Wszystko, co użyteczne zostanie opanowane – bo właśnie jest użyteczne. Sadzanie dzieci w krzesłach i skłanianie ich do wykonywania uciążliwych i nudnych ćwiczeń, w których ani dla nich, ani dla żadnego normalnego człowieka nie ma niczego ciekawego, jest najgorszym z możliwych wyjść i równocześnie najczęściej stosowanym w szkole. Co gorsza, to uchodzi za oczywistość. W tym miejscu w pełni się zgadzam z Marzeną.

    Pełna zgoda co do zadań z nadmiarem danych. Umiejętność myślenia twórczego i naukowego polega na zdolności wychwycenia w obserwacji związków przyczynowo-skutkowych i innych podobnych: co ma wpływ na co, co jest przez co jednoznacznie określone i daje przesłanki do przewidywań itd. Zadania na prędkość są jednak tak absolutnie trywialne, że ja sam żadnego sensu znaleźć w nich nie umiem. Też bym je sobie odpuścił i wrócił do problemu np. liniowości wtedy, kiedy da się pokazać jego rozmaite uogólnienia i odpowiedniości – np. w geometrii z jej Talesem, proporcjonalnościami, w elementach teorii liczb, właśnie we wspomnianym mnożeniu itd. Wtedy mamy szansę obudzić w dzieciach tworzenie ogólnych modeli, czy pojęć uogólniających, a więc niekonkretnych. Zadania z jadącymi samochodami itd. są moim zdaniem szkodliwe nie tylko dlatego, że są nudne i nierozwijające. W rzeczywistości one tłumią widzenie uogólniających modeli, zamiast je wzmagać, ponieważ właśnie skupiają się na konkrecie i budują model jednorazowego stosowania. Ja bym powiedział, że rozbiór gramatyczny zdania jest bardziej rozwijający, niż tak trywialne rzeczy.

    • Oczywiście, że nie jest istotne sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia do zrozumienia zadań na prędkość itp. Sprawne posługiwanie się tabliczką mnożenia jest jednak niezbędne do szybkiego rozwiązywania takich zadań na sprawdzianie szóstoklasisty, który na, jak kazdy test, ograniczony czas. Na sprawdzianie nie jest bowiem istotne, czy i w jaki sposób dziecko rozumie prędkość, a nawet samo mnożenie. Istotne jest, czy w danym czasie rozwiąże wszystkie zadania. Dopóki istnieją egzaminy decydujące o dalszej edukacji dziecka (niezależnie od ich formy), dopóty opanowanie mechanicznych czynności ułatwiających wykonywanie zadań jest potrzebne, niestety. Najpierw należałoby znieść egzaminy, potem uczyć dogłębnie. Odwrotna kolejność nie ma sensu, bo to skaże na porażkę edukacyjną niektóre bardzo zdolne dzieci, które co z tego, że rozumieją duzo, skoro nie potrafia tego udowodnić na typowym egzaminie.

      • Al
        Cały czas mamy komplecik:
        Czego uczymy, jak uczymy i jak sprawdzamy?
        Wszystko wymaga zmiany, ale od czego zacząć????
        A najważniejsze – kto może zmienić i co?
        Danusia

  3. Pawle
    Ten mój wpis nie wpisuje się w nasze tutaj dyskusje. On jest do bólu rzeczywisty.
    Mamy: 13-latka w trudnej sytuacji, pracę domową do odrobienia, w perspektywie test. Od tego wszystkiego w dużej mierze zależy przyszłość dziecka. Mamy też cel – zdać egzamin.
    Tabliczka mnożenia jest niezbędna, bo inaczej nie zakreśli się odpowiedniej literki w teście i będzie kicha.
    Z tego też powodu trzeba umieć rozebrać zdanie, choć chyba to nie bywa na egzaminie.
    D

    • A skąd przekonanie, że od zdania tego testu zależy przyszłość tego dziecka? Czyżby jego rodzice chcieli posłać go do elitarnego gimnazjum, gdzie trzeba mieć na wejściu ileś tam punktów ze sprawdzianu podstawówkowego?

      Jakim to załamaniem kariery grozi temu 13-latkowi oblanie tego sprawdzianu?

      Na czym ta kicha miałaby polegać?

      • Masz dzieci w tym wieku? Ja mam/miałem, więc możesz mi wierzyć, moje dzieciaki zrobiłyby w podstawówce (rejonowej, zwykłej) wszystko, żeby nie iść do gimnazjum z osobami, z którymi spędziły sześć lat.

    • Danusia,

      Moje pierwsze w życiu doświadczenie z matematyczną edukacją matematycznie zblokowanych było podobnie do bólu rzeczywiste. Również do bólu rzeczywiste (w stopniu chyba większym niż Twój praski przykład) są moje obecne doświadczenia z dzieciakami z rodzin upośledzonych. Wydaje mi się, że ja sobie zdaję sprawę z tego, jak rzeczywista jest sytuacja, o której mówisz i jak wobec tego pilna jest potrzeba jej mniej lub bardziej doraźnych rozwiązań. Trochę mnie złoszczą nawoływania o konkret vs. ogólne moralizowanie o celach edukacji.

      Oczywiście, że podobnie jak Xawer protestuję przeciw celowi określonemu, jako zdanie egzaminu. Ale wspomniane pierwsze dydaktyczne doświadczenie miało właśnie tak zdefiniowany cel – dotyczyło pewnego mojego przyjaciela, który się dowiedział, że nie ma co liczyć na ściągę z matematyki i maturę musi zdać sam – w tamtych czasach w przypadku ogromnej większości uczniów to było absolutnie nierealne. Stara matura była kompletną fikcją. Chłopak nie tylko nie znał tabliczki mnożenia (która zresztą do zdania matury wcale nie była niezbędna). Wiedział, że dwa do kwadratu jest cztery i wiedział, co to pierwiastek kwadratowy, ale ile jest pierwiastek z czterech już nie wiedział. Od tego zaczynaliśmy, mieliśmy dwa miesiące, a przed sobą zadania z badaniem przebiegu zmienności funkcji i takie tam. To Ci właśnie od jakiegoś czasu usiłuję bezskutecznie sugerować – myślenie się opłaca również na głupich testach. Szkolny program tego nie uczy, a wręcz przeciwnie. Dobrze o tym przecież wiesz. Nawet z punktu widzenia doraźnych potrzeb opłaca się uczyć dzieci myśleć. Warto zaryzykować „stratę czasu” i odejście od szkolnych programów. Jeśli dzieciak „załapie” – ogromne partie szkolnego materiału staną się dlań oczywiste natychmiast. Tamte dwa miesiące wystarczyły nam zupełnie – chłopak napisał maturę sam i zdał ją na 3,5 chyba. Spotykam go czasem i czasem to wspominamy – widzę przy okazji, że choć minęło trzydzieści kilka lat, on nadal wie, co znaczy dowód matematyczny i nawet potrafi takie coś sklecić lub chociaż powtórzyć, bo myślenie ma nad bezrozumnym zapamiętywaniem również tę przewagę.

      Wezwania o konkret drażnią mnie oczywiście również z innego powodu. Mamy do czynienia z systemem, który na wiele sposobów jest zły. A spora część z tych sposobów ewidentnie wyrządza krzywdę dzieciom. To jest ostry problem etyczny po prostu. Zgoda na reguły gry i koncentracja na konkretach wyznaczonych przez te reguły powinna przynajmniej powodować refleksję i pytania o granice. Ja sam mam we własnych doświadczeniach do czynienia wyłącznie z ofiarami szkoły robiącej dokładnie to, co opisujesz w tym wpisie. I po prostu się na to nie godzę. Rozumiem, że chcesz pomóc dziecku, a nie naprawiać rzeczywistość. OK – niekt nie dowiódł, że rzeczywistość jest w ogóle naprawialna. W tym przypadku również da się jednak robić z grubsza dwie możliwe rzeczy: albo zwiększysz intensywność szkolnego treningu i w ten sposób osiągniesz sukces, dokładając się do szkolnych spustoszeń, albo spróbujesz czegoś innego. Pytanie, jak długo można się godzić na tolerowanie status quo jest osobne. Ale nie całkiem osobne. Do bólu rzeczywisty problem ani nie byłby rzeczywisty, ani w najmniejszym stopniu bolesny, gdyby nie to, o czym usiłujemy tu z Xawerem powiedzieć. Źródłem bólu – jestem absolutnie pewien – jest nie to, że się pani nie pochyliła nad tabliczką mnożenia i teraz ona się wlecze. Są nim zadania w liczbie dwudziestu i fakt, że w nich nie ma niczego poza torturą.

      • widzę dwie kwestie:
        1. Dyskusja nad zmianę fundamentalną w edukacji. Taką tu często prowadzimy.I tu jest pytanie: Jakie mamy wpływ na tę zmianę?
        2. Jak pomoc dziecku w obecnej zastanej sytuacji. Tu cytat z Ciebie: „Źródłem bólu – jestem absolutnie pewien – jest nie to, że się pani nie pochyliła nad tabliczką mnożenia i teraz ona się wlecze. Są nim zadania w liczbie dwudziestu i fakt, że w nich nie ma niczego poza torturą”. To jest pewna wskazówka także dla nauczycieli wplątanych w ten taniec. Może też wskazówka dla autorów podręczników. CIEKAWIEJ. Tylko czy my wiemy, co jest dla nastolatka ciekawe? Dorzuciłabym jeszcze zasadę: mniej, a głębiej. Też trudna bo tańczymy wokół PP i testu końcowego.

        Dziękuję za radę w stosunku do dziewczynki z Pragi. Popieram, tylko ten pierwszy raz był kontraktem: albo praca domowa, albo idę do domu.

        Danusia

      • Danusiu,

        Moim zdaniem te dwie kwestie całkiem osobne nie są, ale niech będzie, że się je opłaca rozdzielić dla porządku dyskusji. Co do fundamentalnej zmiany w edukacji. Rzeczywiście nie ma dowodów na to, że to w ogóle jest możliwe, a przegląd sytuacji na świecie skłania raczej do przyjęcia poglądu, że to możliwe nie jest. Znane są „ekscesy” w stylu Summerhill, ale nikt nigdy nie widział systemu w podobny sposób różnego od tego, co znamy. Choć doświadczenia „zderzeń” Summerhill z systemem są pod tym względem pouczające również w kontekście konkretnej sytuacji dziewczynki z Pragi. Poddane złośliwym wizytacjom dzieci Summerhill jednak jakoś zdają testy, choć ich w nich nikt nie ćwiczy.

        Mnie się wydaje, że kluczem do zmian jest na nowo skonstruowany program i nad tym staram się pracować, widząc szansę na to, by ten program sformułować i nawet zrealizować (na zasadzie free choice learning) poza szkołą, co stworzyłoby silny impuls zmiany.

        Pomoc w zastanej sytuacji. Dwadzieścia zadań trzeba odrobić, skoro je zadano. Trudno. Wielokrotnie miałem takie rzeczy do przejścia z własnymi dziećmi. Natychmiast leciałem do szkoły opieprzyć nauczyciela, bo zadawanie takich rzeczy jest absolutnym skandalem. Dobrze, że o tym wspomniałaś – ten pierwszy kontrakt: albo odrabiamy, albo wracam do domu. Kurczę, to jest problem. Pamiętam, kiedy na mnie nawrzeszczał mój własny syn. Ty mi tu nie zasuwaj wykresów – darł się – ja nie mam tego rozumieć, ja to mam zrobić tak, jak to tutaj jest pokazane. A umiesz? – pytam. Nie! – wrzeszczy mały i uzupełnia to słowami nie nadającymi się do druku. To było trudne dziecko :) Pamiętam, jakby to było wczoraj, bo to było silne przeżycie. Ale z punktu widzenia opłacalności. Poprzednia „sesja” zadań domowych małego (identycznych) zajęła mu pół dnia i do niczego nie doprowadziła. Większość zrobił źle. W następnej „sesji” – tej z wrzaskami – straciliśmy kilka godzin na wrzaski i kłótnie oraz moje próby tłumaczenia, że jeśli zrozumie, nie będzie miał problemu również z rozwiązaniem „tak, jak to tutaj jest pokazane”. Zrozumienie i rozwiązania zadań zajęły nam może kwadrans. Dzieci nie dlatego rozwiązują proste zadania piętnaście razy wolniej niż Ty je rozwiązujesz, że mają taką naturę. Przeciwnie – dzieci są na ogół szybsze niż my i ten ich ciągły pośpiech nas męczy, bo za nim nie nadążamy. Mozolą się, bo się poruszają w nieznanych sobie i niezrozumiałych pojęciach, usiłując odnaleźć ścieżkę, której cechy rozpoznają z trudem. „Ty mi nie rysuj wykresów” – wrzeszczało moje dziecko – „wykresów nie przerabialiśmy!” Ale oczywiście przecież wiedział, co to jest wykres. Skąd? Nie pamiętam – pewnie jednak ode mnie. Akurat wtedy trafiło do niego pytanie, czy wiedza o wykresach w czymkolwiek mu przeszkadza. Było dla niego szokującym odkryciem, że nie przeszkadza w niczym. No dobra, rysuj – powiedział w końcu.

        Mój mały miał ostrą postać ADHD. Taką, że kiedy biegałem za nim trzymając go za kijek na rowerku, a trwało to kilka lat, mimo, że on był sprawny fizycznie, to bez ani jednego wyjątku nigdy nie zdarzyło mu się pamiętać, że zobaczywszy biedronkę, której chciałby się przyjrzeć (miał tę nadwzorczność charakterystyczną dla ADHD), należy najpierw zatrzymać rower, a dopiero potem z niego zejść. Zawsze w pełnym biegu, rozpędzony do czerwoności, padał z łomotem na ziemię i nawet ból potłuczonych kości nie był w stanie sprawić, że się następnym razem zachowa inaczej. Cudowny widok biedronki – poza wszystkim – działał nań znieczulająco. Wyobraź sobie teraz kogoś takiego rozwiązującego zadania z wyrażeń algebraicznych. Wiesz, ile biedronek on widzi w koło, choć Ty nie zauważasz żadnej? Patrzyłem, jak to robi i widziałem, jak w setce przykładów nie było ani jednego poprawnego. Dosłownie. A on wiedział wszystko, co trzeba – co tam jest zresztą trudnego, czego można nie rozumieć? Po prostu nie był w stanie przepisać wszystkich np. składników sumy z jednego wiersza do drugiego, nie zapominając o którymś. Poleciałem z tym do nauczyciela, który okazał się akurat przytomnym człowiekiem (niestety reforma spowodowała likwidację tej szkoły i nauczyciel nie na długo się przydał). Spełnił moją prośbę, zaczął sprawdzać sposób, a nie tylko wynik i się okazało, że mój mały jest dobry, a nie zły. Pierwszym wynalazkiem nauczyciela było to, że odtąd mój mały uczył kolegów z klasy, którzy miewali z tym kłopoty. I wiesz co? Ucząc innych przestał sam robić błędy i jakoś o wszystkim pamiętał. Kolejnym odkryciem – autorstwo należy się obu panom: nauczycielowi i mojemu synowi – był znany również skądinąd pomysł – dzieci zamiast rozwiązywać zadania zaczęły je układać. Po to, żeby je na przykład sobie nawzajem zadawać, podzieleni na grupy. Albo, żeby konstruować sztuczki w stylu zgadywanie myśli, w których trzeba tak skostruować wyrażenie, żeby się ono dało uprościć do z góry założonego wyniku, niezależnie od wyjściowych danych. Sposobów może być milion i nie wszystkie wymagają radykalnych odejść od treści podręcznika, ale zawsze jakichś wymagają, bo przede wszystkim wymagają wiary, że dzieci potrafią myśleć i że myślenie się opłaca.

        Mój mały miał ADHD. Ale dzieci w tym wieku z natury tego wieku mają właśnie takie cechy. Co to jest w ogóle za pomysł, by je sadzać nad podobnymi zadaniami, w których nie ma niczego pojęciowo nowego ani w żaden sposób trudnego, w których przez to nie ma również niczego ciekawego i w których liczy się wyłącznie długotrwała koncentracja na żmudnych i powtarzalnych czynnościach?! Kto to wymyślił?! Akurat dość dobrze wiadomo, kto i nawet wiadomo, dlaczego – tak wyglądały pruskie szkoły ludowe w praktycznej realizacji, bo przecież nikt nie rozumiał idealistycznych założeń von Humboldta. Wtedy się to zaczęło. Salzmann jeszcze o takich rzeczach nie miał pojęcia i najpewniej już wtedy przewracał się w grobie. Szkoły ludowe uczyły dzieci prostaczków – zakładały więc ich ograniczone zdolności. Samospełniające proroctwo przetestowane skutecznie na wielką skalę.

        Pytasz, co jest ciekawe dla nastolatka. Ja mniej więcej wiem, że rzeczy dość podobne do tych, które i nas ciekawią. Trudniej się robi przy mniejszych dzieciach, ale one na szczęście interesują się niemal wszystkim. O ile to są rzeczy, które da się wyczuć intuicyjnie wyłącznie i które silnie zależą od tego, z jakim dzieckiem mamy do czynienia, to bez większych wątpliwości da się powiedzieć, co na pewno interesujące nie jest. Te dane są bardzo dobrze potwierdzone empirycznie i sprawdzone na miliardach dzieci, które przeszły przez obowiązkowe szkoły na świecie. To jest właśnie nieinteresujące.

        Popieram zasadę „mniej, a głębiej”. Dorzuciłbym do niej dwa grosze.

        „Głębiej” mianowicie znaczy dowód Pitagorasa, a nie sam wzór, który zresztą do niczego nigdy nie przyda się komuś, kto nie będzie naukowcem albo inżynierem. Rozumowanie natomiast – owszem, bo go po prostu rozwinie intelektualnie. To pierwszy grosz, a drugi jest taki – zaobserwowałem we własnych doświadczeniach – że „mniej” niekoniecznie jest wtedy tak bardzo konieczne. Okazuje się, że w ten sposób da się szybko powiedzieć nawet o wiele więcej.

        • Jeszcze coś, zapomniałem, a to ważne. Jeden z wielu wątków, które da się rozwinąć od zasygnalizowanego przez Ciebie problemu zaległości – tu akurat tabliczka mnożenia – które trzeba koniecznie nadrobić, zanim da się pójść dalej. Przy okazji – do dziś pamiętam, jak mnie w maturalnej klasie matematyczno-fizycznej w jednym z lepszych w kraju liceów zmuszono do zdawania tabliczki mnożenia, bo ja ją rzeczywiście znałem słabo. Jeszcze wtedy dało się być dobrym z matmy, mając dość podstawowe trudności z liczeniem, choć mój ówczesny nauczyciel był takim szoku, że nawet zaklął, co do niego pasowało tak, jak wykwintny język do mnie.

          Matematyka uchodzi za sekwencyjną naukę, w której jedno wynika z drugiego. Słusznie, ale spójrz na realia i zastanów się, ile ma wspólnego szkolny program z jakąkolwiek aksjomatyką, np. Euklidesa? Wiemy też przecież, że aksjomatyk można sobie wybrać wiele różnych. Tu dodatkowym uzasadnieniem są „prawdy metodyczne”. Na sąsiednim wpisie napisałem o jednym z nich – o problemie stałości liczby, który polska szkoła (tu już szkoły za granicą są nowocześniejsze i lepsze czasami) przełamuje w charakterystyczny dla siebie sposób wieloma miesiącami prostych ćwiczeń w liczeniu. Polska szkoła, ustami prof. Semadeni twierdzi wprost, że inaczej się nie da. Podałem tam przypis odsyłający do odwrotnych ustaleń w badaniach. Nie twierdzę, że podana tam metoda jest uniwersalnie dobra. Nie znam się na tym, sądzę tylko, że ten przykład pozwala sfalsyfikować oczywistość tez Semadeniego. Nadal jednak wydaje sięnam oczywiste, że dzieci trzeba najpierw uczyć liczyć. Znów są badania pokazujące, że ani nie trzeba, ani też nie jest to metoda efektywna:
          http://www.maa.org/devlin/devlin_01_09.html
          Zobacz też inne wpisy Devlina. Nie twierdzę znów, że to są dobre metody uniwersalne, nawet nie jestem pewien, czy rzeczywiście lepsze od „tradycyjnych” – bo tego się orzec nie da na podstawie eksperymentu prowadzonego przez świadomych i zaangażowanych nauczycieli, bo to być może oni – ani nie sama konstrukcja programu – spowodowała zmierzony w badaniach sukces. Ale to kolejna rzecz, która podważa oczywistość i niezmienność solidnej konstrukcji tego gmachu, jakim wydaje się nam szkolna matematyka. Takiego, że usunięcie cegły powoduje zawalenie całości.

        • Napisałeś kilka konkretnych i dobrych wskazówek:
          1. Wzajemne nauczanie uczniów
          2. Wymyślanie zadań dla uczniów prze uczniów
          3. Ocenianie sposoby rozwiązania, a nie samego wyniku
          4. Łatwiej powiedzieć, co nie jest interesujące niż to co jest interesujące.A to, co nie jest interesujące wskazują nam uczniowie.
          Dziękuję
          D

          • Ależ bardzo proszę, Danusiu :)

            Pomyśl jednak nad przykładem dziecka z ADHD (zauważając, że one wszystkie mają te cechy) ślęczącego nad zadaniami z wyrażeń algebraicznych, które wymagają wyłącznie koncentracji. W nich niczego pojęciowo trudnego nie ma. To jeden z powodów, dla których one są nieinteresujące. Ten sam dzieciak potrafi godzinami skupiać się na rzeczach, które go interesują i jedną z cech tych rzeczy jest to, że bywają nieporówanie trudniejsze od szkolnych zadań. Tak było z moim chłopakiem od biedronek. Warto się temu przyjrzeć.

            Da się wymyślić ileś sposobów uatrakcyjniania. Wzajemne uczenie się ma mnóstwo zalet. Wymyślanie zadań zamiast rozwiązywania kryje w sobie kilka mechanizmów. Jednym z nich jest podniesienie (a nie zmniejszenie) stopnia trudności, przy jednoczesnym zniknięciu presji udzielenia poprawnej odpowiedzi.

            Uczniowie wskazują, co jest dla nich nieinteresujące i to niestety widać aż nadto dobrze. Ale też wskażą, co je interesuje. Wystarczy próbować i patrzyć im w oczy.

            Co do punktu 3. Jeszcze ja byłem w ten sposób oceniany. Mój 30-letni syn już nie. Dzięki temu mogłem aż do końca liceum nie znać tabliczki mnożenia. Moim zdaniem to była zaleta, a nie wada tamtej szkoły. Być może to dzięki temu nie nabrałem urazów i nigdy nie miałem wątpliwości, że matematyka jest sztuką myślenia o bardzo uniwersalnym znaczeniu.

  4. Typowa szkolna sytuacja, dla wyjaśnienia zajęcia które prowadzę. Lekcja biologii – 28 uczniów, zadaję pracę domową polegającą na rozwiązaniu trzech zadań (rozwiązanie to mocne słowo, gdyż praca polega na przepisaniu treści z podręcznika). Abym był wiarygodny, a uczniowie czuli że to co robią ma sens muszę tą pracę domową sprawdzić, na jednego ucznia poświęcam średnio 4 minuty, co daje 112 minut, nie każdy ma ćwiczenia, rozmowa z uczniami ich wyjaśnienia to kolejne minuty. Klas mam 10, 112 razy 10… straszne. Czego mnie to uczy, niczego, czego uczy to uczniów niczego, no może któreś na przerwie spisze pracę od kolegi. Tak na szczęście nie robię, ćwiczenia wykonujemy na lekcji, a jeśli już zadaję je do domu to 1-2, czasem do wyboru przez ucznia, a sprawdzamy je na zajęciach pracując w grupach, lub poprzez tzw. wzajemne nauczanie.
    Nie lubię pracy domowej, wolę kiedy uczeń sam kreatywnie coś wymyśli, stworzy, przykładem może być film, na zajęciach z edukacji dla bezpieczeństwa zaproponowałem pracę domową polegającą na nakręceniu filmu z tematów które już były przerabiane, te filmy wspólnie analizujemy na zajęciach dając sobie informację zwrotną. Uczniów to wciąga, tworzą grupy które pracują razem, mają świetne pomysły.
    Przykładem może być ten film: http://www.youtube.com/watch?v=8gZpXEaKWNM&feature=youtu.be sytuacja dotyczy matematyki :)

    • Ważna sprawa – zadawać pracę domową, tylko wtedy gdy jest na prawdę sensowna i potrzebna i koniecznie (w pocie czoła) sprawdzać.
      Film ekstra, dzięki niemu i np kolorowi tła i wizualizacji inni lepiej mogą zapamiętać procedurę postępowania w razie wypadku.
      Też jestem za wyborem pracy domowej. Gdyby moja dziewczynka z Pragi mogła wybrać spośród tych 20 zadań, to pewnie zrobiłaby je wszystkie, ale z jak inną motywacją.
      D

  5. Dawno tu nie zaglądałam z różnych powodów. Nie czytałam też wszystkich odpowiedzi pod tekstem Danusi, ale gdy treść tych zadań z matematyki, to przypomniał mi się taki dowcip-niedowcip o reformie edukacji w Polsce na przykładzie zadania matematycznego. Pozwolę go sobie tutaj przytoczyć, za co z góry przepraszam tych, którzy widzą to inaczej:

    REFORMA EDUKACJI W POLSCE na przykładzie zadania z matematyki:

    1950 r.
    Drwal sprzedał drewno za 100 zł. Wycięcie drzewa na to drewno kosztowało go 4/5 tej kwoty. Ile zarobił drwal?

    1980 r.
    Drwal sprzedał drewno za 100 zł. Wycięcie drzewa na to drewno kosztowało go 4/5 tej kwoty – czyli 80 zł. Ile zarobił drwal?

    2000 r.
    Drwal sprzedał drewno za 100 zł. Wycięcie drzewa na to drewno kosztowało go 4/5 tej kwoty, czyli 80 zł. Drwal zarobił 20 zł. Zakreśl liczbę 20.

    2010 r. (tylko dla zainteresowanych)
    Drwal sprzedał drewno za 100 zł. W tym celu musiał wyciąć kilka starych drzew. Podzielcie się na grupy i odegrajcie krótkie przedstawienie, w którym postarajcie się przedstawić, jak w tej sytuacji czuły się biedne zwierzątka leśne i rośliny. Przekonajcie widza, jak bardzo niekorzystne dla środowiska jest wycinanie starych drzew.

    2013 r.
    Drwal sprzedał drewno za 100 zł. Pokoloruj drwala.

    Oczywiście to hiperbola,i straszno, i śmieszno, ale jednak coś w tym dowcipie jest adekwatnego do naszej szkolnej obecnej rzeczywistości. Dlatego dobrze rozumiem (w tym kontekście)pytanie Xawera o aksjologię.

  6. Witam serdecznie.
    Jeśli można, to chcę zwrócić uwagę na stwierdzenie
    „Trudno wymagać od 13-latki, żeby planowała swoją naukę i codziennie przez dwa tygodnie rozwiązywała po 2 zadania.”.
    Jestem nauczycielem matematyki i sama zadałam uczniom zadań 13 na ferie, były to zadania głównie tekstowe, obejmujące cały zakres materiału z 6 klasy. W myśli Jana Pawła II „Wymagajcie od siebie, choćby inni od was nie wymagali.” Jestem tego zdania, że właśnie należy wymagać tego, aby już w tym wieku uczennica umiała sobie zaplanować czas tak, by wykonać 1 zadanie dziennie(u mnie było takie założenie). Uczenie dzieci systematyczności, to podstawowa rzecz, którą powinny wynieść ze szkoły.
    Po feriach uczniowie mieli rozwiązane zadania, posprawdzaliśmy sobie odpowiedzi a zadania, które sprawiały jakiekolwiek trudności, omówiliśmy na lekcji wspólnie.
    Oczywiście zgodzę się z tym, że jak „leży” tabliczka mnożenia, to jest źle. Mam pytanie, czy nauczyła Pani tą dziewczynkę tabliczki mnożenia?
    Pozdrawiam
    Dorota

    • Pani Doroto
      Nie miałam jeszcze okazji nauczyć dziewczynkę tabliczki, staram się przy różnych zadaniach powracać do tabliczki. Ale myślę o pewnym sposobie (pochodzącym od bardzo mądrej ś.p. nauczycielki matematyki) na ćwiczenie tej umiejętności. Co by nie mówić, nie jest to zbyt pasjonujące zajęcie.

      Pani sugestia w sprawie odpowiedzialności uczniów za uczenie się, jest ze wszech miar pożądana, ale jakoś z mojego punktu widzenia mało realna. Mało któremu nauczycielowi udało się „zaszczepić” tę odpowiedzialność. Szczególnie jak się popatrzy na dorosłych już ludzi.
      Na pewno warto nie zniechęcić do nauki, a to też nie jest takie proste.
      Danusia

  7. Pani Danusiu
    Jednak warto zaszczepiać tą odpowiedzialność, chociażby jeden uczeń miał z tego skorzystać. można by rzec, gdzie Ci nauczyciele przedwojenni, którzy byli nie tylko autorytetami w swoim przedmiocie, ale również jako osobowości.
    Z chęcią skorzystałabym z tego sposobu na tabliczkę mnożenia.Pozdrawiam.
    Dorota

    • On jest taki: Bierzemy pudełko od zapałek w nim robimy kartoniki.Po jednej stronie jest napisane: 5 x 6, a po drugiej 30. Tak z całą tabliczką. Najpierw obklejamy pudełko papierem kolorowym, podpisujemy z dzieckiem, tak aby stało się własnością dziecka. Pierwszy raz razem z dzieckiem przelatujemy karty, pytamy ile jest 5 x 6, jeśli dobrze odpowie, to odkładamy, a jeśli źle, to kładziemy kartę na dół pudełka.
      Potem mówimy dziecku, aby raz lub dwa razy dziennie „przeleciało” zestaw kartek i obiecujemy mu, że po tygodniu będzie znać tabliczkę dzięki swojemu magicznemu pudełku.
      Działa!
      Danusia

  8. Innym sposobem ucznia się tabliczki mnożenia (ale nie tylko, np. stolic) jest „nieuczenie się”. Uczeń przygotowuje samodzielnie ściągę z tabliczką i ma ją zawsze przy sobie: przy tablicy, na ławce, w trakcie kartkówki. Uczy się automatycznie, poprzez używanie ściągi.
    Do tego można dołożyć szybkie konkursy na bezbłędność z nagrodą w postaci piątki. Musielibyście zobaczyć jak to mobilizuje „słabeuszy” do nauczenia się. A jaką mają radość z piątki !

  9. Doprawdy znakomite! Radość z piątki! Czas umierać, naprawdę. Dopiero co nasmarowałem kilkadziesiąt stron, narażając się przy tym ludziom, których lubię i cenię, by próbować przekonywać, że szkoła powinna szukać okazji do satysfakcji poznawczej uczniów, a tu nagle pojawia się piątka jako motywacja i to z ust Wiesława! W dodatku – jeśli dobrze rozumiem – piątka uzyskana w sposób nieuczciwy, o ile ściąga ma być ściągą. No, brawo!

    Natomiast „nieuczenie się” – popieram. Apelowałbym tylko, żeby dzieci miały okazje do korzystania z tabliczki mnożenia (za moim czasów drukowano ją na tyłach zeszytów) w sytuacjach, które ekscytują je w inny sposób niż tylko piątka z nieuczciwie potraktowanego sprawdzianu – np. licząc coś, co ICH ZDANIEM warto policzyć i co policzyć CHCĄ.

    • Ja też wolałabym, aby dziecko dostało wewnętrzną nagrodę poprzez – o już wiem.
      A wiecie, że moja uczennica nie używa kalkulatora. Ma go w komórce, ale nie sięga.Pani zabroniła! Zakaz działa nawet poza szkołą.
      D

  10. Pani Danusiu dziękuję za metodę, której jeszcze nie znałam, warto spróbować. Ja jestem zdecydowanie przeciwna ściągawce z tabliczki mnożenia. Na początku roku w kl.VI, w której zaczęłam pracę, jeden z uczniów, jak się okazało bardzo dobrych, logicznie myślący, startujący w konkursach – do tej 6 klasy miał ściągę z tabliczki. Problem jest w tym, że taka ściąga poniekąd zwolniła go z nauczenia się jej. Do tej pory uczeń robi błędy rachunkowe zaczynając od dodawania, skończywszy na mnożeniu.
    Wiem, że niektórzy nauczyciele zezwalają na używanie kalkulatorów w szkołach średnich,dobrze czy źle? Oczywiście to zależy od zasadności, ale jeśli przy rozwiązywaniu układów równań przy metodzie przeciwnych współczynników uczennica nie wiedziała jak obliczyć -1x+2x lub -1x+1x lub -6x+4x…
    Pozdrawiam
    Dorota

    • Ja jak mam kalkulator, to nawet 3 do 5 dodaję na nim.
      Wolę sposób z pudełkiem.
      pewne rzeczy trzeba umieć i już.
      Danusia

      • Też uważam, że pewne rzeczy trzeba umieć i już. Tabliczka mnożenia z pewnością do nich należy, choć ja akurat uważam, że oczywistość tego postulatu i konieczność jego realizacji jest mniej oczywista, niż się na ogół sądzi. Wiem również – o czym niezwykle często się zapomina – że niektóre rodzaje nauczania bywają nie tylko przeciwskuteczne, ale mogą szkodzić na wiele różnych sposobów. Tabliczka mnożenia jest pod tym względem bardzo niebezpieczna, ponieważ niby nie znamy innych sposobów jej nauczania, jak tylko wkucie na pamięć – a to nie jest miły proces: trzeba się zawziąć i powtarzać w kółko do skutku. Ja uważam, że przy pierwszym oporze dziecka należy odpuścić i przypominam, że mniej więcej 3/4 populacji dorosłych ma wyniesiony ze szkoły uraz do matematyki, więc ryzyko wynikające z uporu jest spore.

        Ksawery lekko przesadził – tabliczkę mnożenia znam jako tako, natomiast – fakt – do jej wkucia zmuszono mnie dopiero w ostatniej klasie liceum mat.-fiz. Kolejnym faktem jest również to, że szkoła dość poważnie zmieniła się od tego czasu. Program uproszczono tak, że poprawne liczenie stało się w nim ważniejsze (bo niewiele więcej zostało), ale również zadania konstruuje się tak, że ocenie podlega prawidłowość wyniku, a już zupełnie nie prowadzące do niego rozumowanie. Jeszcze kilkanaście lat temu udawało mi się uprosić nauczyciela jednego z moich synów, by zechciał się przyjrzeć rozumowaniu zanim postawi mu pałę za zły wynik (mały z powodu ADHD zwykł zapominać np. o jakichś składnikach sumy) – teraz to już jest prawie niemożliwe. Za moich czasów za złe obliczenie dostawałem co najwyżej minus przy piątce.

        Marzena twierdzi bardzo stanowczo, że mózgu nie można zmusić do uczenia się. Ten jej wniosek z badań nad mózgiem gorąco popieram – choć sam jestem kontrprzykładem. Do wkucia tabliczki mnożenia i kilku innych rzeczy zostałem zmuszony – poczucie zagrożenia lub wstyd, a nie tylko ekscytacja wywołana np. zabawą, potrafi wyzwolić neuroprzekaźniki powodujące, że mózg w ogóle funkcjonuje.

        Problem z liczeniem na podstawowym poziomie jest moim zdaniem poważny i powinien być przedmiotem poważnych studiów. Nie jestem wcale pewien, że to są rzeczy, które da się tylko wkuć w procesie, który Marzena opisuje, jako uczenie utajone. Ksawery być może jest takim typem, który umie w liczbach dostrzegać regularności, widząc ciągi kolejnych wielokrotności itd. Który zatem rozumuje wykonując obliczenia, a nie tylko przywołuje z pamięci zapamiętany wynik. Ale jeśli istotnie tabliczkę mnożenia należy po prostu zapamiętać i tyle, to jawny proces jej powtarzania w kółko dla osiągnięcia tego wyniku jest z całą pewnością najgorszym pomysłem. Pomysłem dobrym nie wydaje się również „odmienianie przez przypadki” tabliczki mnożenia w cyklu niekończących się zadań rachunkowych, które nie mają innego celu. Przypomina to ćwiczenia z gramatyki, o których nieskuteczności pisała wielokrotnie Marzena. Jeśli tabliczkę mnożenia konsekwentnie uznawać za umiejętność pamięciową wyłącznie, to jest tu podobnie jak w nauce języka – gdzie im więcej uczenia utajonego nie angażującego świadomości, tym lepiej. To się odbywa dobrze w konwersacji i innych tego typu aktywnościach i – jak to również Marzena opisuje – nie w sztucznej konwersacji symulowanej, ale w takiej, która towarzyszy normalnej ludzkiej aktywności. Dla liczenia w ramach tabliczki mnożenia da się znaleźć mnóstwo angażujących ciekawość pretekstów, gdzie dzieci na wynik będą czekały z napięciem harazdzisty patrzącego, w którą dziurkę trafi w końcu kulka ruletki. Wynika stąd kilka wniosków dotyczących tego, jakie to mogą być okazje – bo się natychmiast okaże, że one nie mogą być trywialne jak szkolne zadania i większości nauczycieli wydadzą się zbyt trudne dla dzieci, ale to jest problem osobny. Tu wystarczy powiedzieć, że lepiej „stracić” trzy lekcje na rozwiązanie z dziećmi problemu trudnego, niż wykonać z nimi w tym czasie 300 nudnych i trywialnych zadań, po których nic im w głowach nie zostanie i które tylko utrwalą ich przekonanie, że nauka jest nudna.

        Wiem również, że tabliczka mnożenia wcale nie ma tak zasadniczego znaczenia jako podstawa budowania wszelkich matematycznych kompetencji. Sam jestem tego przykładem. Dla mnie naturalnym było rozumienie, co w przyrodzie i w matematyce od czego zależy, jakie dane wyjściowe decydują o wyniku, co z czego da się wyspekulować. Oczywiście to nie szkoła mnie tego nauczyła, a prawdopodobnie ojciec – ale ówczesna szkoła przynajmniej w tym nie przeszkadzała. Dzisiejsza – przeszkadza. Grecy są kolejnym przykładem falsyfikującym tezę o tym, że arytmetyka na podstawowym poziomie wyznacza podstawy – oni jej niemal nie znali i to nie na sprawnym liczeniu polegały ich zdolności, które do dzisiaj podziwiamy.

        Pudełko z tabliczką mnożenia nieco osłabia „inwazyjność” problemu wkuwania. Ale – szczerze mówiąc – z niepokojem przyglądam się takiej wymianie nauczycielskich doświadczeń, która się koncentruje na sposobach postępowania z rzeczami, które dziecięce umysły odrzucają. Wkuwanie zawsze odrzuca. Trzeba mieć bardzo dobry powód, żeby kazać dzieciom wkuwać. I trzeba wiedzieć, jakie mogą być skutki. Pamiętajmy – 3/4 populacji instynktownie rezygnuje z czytania tekstu, jeśli się w nim znajdą liczby, procenty, czy – nie daj Boże – jakiś wzór.

        • „Marzena twierdzi bardzo stanowczo, że mózgu nie można zmusić do uczenia się. Ten jej wniosek z badań nad mózgiem gorąco popieram – choć sam jestem kontrprzykładem. Do wkucia tabliczki mnożenia i kilku innych rzeczy zostałem zmuszony – poczucie zagrożenia lub wstyd, a nie tylko ekscytacja wywołana np. zabawą, potrafi wyzwolić neuroprzekaźniki powodujące, że mózg w ogóle funkcjonuje” – czyli jednak da się zmusić mózg?
          Przez wieki uczono na pamięć całych książek i jakoś ludzie się uczyli!
          Trzeba mieć tylko narzędzia terroru zmuszające do nauki.
          Ja tym narzędziom jestem przeciwna.
          Pudełeczko ma w sobie kawałek – „ja ci pomogę” i to jest bardzo dobre.
          Hatti mówi, że każda interwencja w szkole jest na ogól skuteczna. Zgadzam się z tym, bo interwencja wymusza pochylenie się nad dzieckiem, a to już jest sukces.
          Bardzo potrzebuję sposobów pochodzących z praktyki. Żałuję, że nie ma ich w podręcznikach i na studiach dla młodych nauczycieli.
          Mam jeszcze jeden sposób od tej samej pani, tym razem o przekraczaniu progu dziesiątkowego. Ale to trzeba pokazać na żywo.
          Danusia

          • Danusiu,

            To, czego mnie nauczono w szkole i nawet na studiach, które były dla mnie ciekawe, co powodowało jakiś stopień wewnętrznej motywacji – wszystko to we mnie wmuszono. Da się zmusić mózg do pracy, owszem. Choć wiemy oboje, że jest to – mówiąc delikatnie – niezbyt efektywne. Chciałbym mieć dobrą miarę, którą się często posługuje Marzena, by móc powiedzieć, że ogromna większość tego, co wiem, pochodzi spoza szkoły i studiów. Nie mam tej miary i stąd trudność w szacowaniu. Ale wiem z jednej strony, że wszystko, czego o fizyce próbowano nauczyć mnie w szkole, ja wiedziałem od ojca, który mi o niej opowiadał zanim skończyłem lat 8. Jeśli dzisiaj zdarza mi się czytać i coś jeszcze raz studiować, na rzeczy pamiętane ze szkoły i studiów trafiam niezwykle rzadko.

            Strategia „ja ci pomogę” jest oczywiście lepsza niż „oblejesz egzamin”, to prawda. Ale to nie wyczerpuje problemu. Historia matematyki jest również świetną figurą narracyjną. Nie tylko daje okazję do humanizowania matematyki – to zaleta, którą przecenić trudno – ale również pokazuje różne inne rzeczy. Np. to, co tu powtarzaliśmy z Ksawerym wielokrotnie – że klasyczna grecka matematyka nie może nie być zrozumiała dla przeciętnego gimnazjalisty, że można uprawiać matematykę nie umiejąc rachować, nie znając zera, liczb ujemnych i systemów pozycyjnych itd.

            Najlepszą strategią, którą znam sam jest po pierwsze ciekawość, po drugie pokonywanie wyzwań. To z punktu widzenia uczącego się. W przypadku matematyki jedyną strategią, którą sam stosuję z punktu widzenia nauczającego jest „wszystko da się wykombinować” – co uważam za pierwszą, najważniejszą prawdę, którą trzeba dzieciom „wbić do głowy”. Pamięciowo opanowywana tabliczka mnożenia przeczy temu komunikatowi. Nie twierdzę, że wynika stąd zakaz pamięciowego uczenia wyników mnożenia – głowy za to nie dam, choć sam nigdy nie dopuszczam, żeby ktokolwiek przyjmował ode mnie cokolwiek bez własnego zrozumienia. Dotyczy to również dorosłych, z którymi rozmawiam i wszystkich dziedzin wiedzy, włącznie np. z historią, ale ważne to jest oczywiście zwłaszcza w odniesieniu do matematyki i dzieci, których mi się zdarza uczyć.

            Pytanie, dlaczego 5×6=25 i jak to się da obliczyć, jest oczywiście dobre. Szukanie w pudełku wszystkich trzydziestek jest już nieco słabsze, choć oczywiście lepsze niż oglądanie wyłącznie awersów karteczek. Wartościowanie przebiega tu według bardzo jasnych kryteriów – im więcej kombinowania, porównywania, szukania zależności i pytań „dlaczego”, tym oczywiście lepiej. Więc jednak nie „na pamięć”, o ile można. Odejmować zaś umie mój pięciolatek, który nie wie, co to są „diabelskie” liczby ujemne. Umiem rozwiązywać układy równań, a nie wiem, co to są przeciwne współczynniki.

            Napisałaś: „pewne rzeczy trzeba umieć i już”. Zgadzam się z tym, ale protestuję przeciw metodycznym uogólnieniom tej tezy. Słowo „trzeba” nie ma dla dziecka znaczenia zrozumiałego w języku jego własnych celów.

            • Pawle
              Żaden nauczyciel nie zaczyna od wyrycia tabliczki. Najpierw dodaje 3 do 5, potem mnoży kilka razy przez 5 itd. Nie można podać tabliczki i koniec. Jeśli dziecko źle poda wynik, to zastanowi się jak dojśc do prawidłowego.
              D

              • Nie rozumiem, jaki związek z dochodzeniem do prawidłowego wyniku ma pudełko z karteczkami. Poza tym oczywiście, że jeśli jednak trzeba tabliczkę wyryć, to coś nie tak było po drodze z tym zastanawianiem.

              • Danusiu,

                Zmierzam do czegoś więcej niż krytyka Twojego pudełeczka – bo ono zasługuje raczej na pochwałę: jest skądinąd fajne i nawet szlachetne, bo wymaga uwagi poświęconej psychicznym potrzebom dziecka. Nawet niekoniecznie do tego zmierzam, żeby wywrócić do góry nogami utrwalony przez stulecia sposób konstruowania dziecięcych pojęć, choć – owszem – miałbym dużą ochotę poszukać alternatyw i twierdzę, że to wcale nie jest aż tak trudne, co i raz podkreślając, że w klasycznej, greckiej tradycji, o ile nam wiadomo, nikt nikogo nie ćwiczył w rachunkach (choć być może ćwiczyli się w nich np. sklepikarze).

                Chodzi mi raczej o to, że wbrew tonom uczonych opracowań o problemie stałości liczby a la Semadeni lub o roli wyobraźni przestrzennej i cielesnych doznań w budowaniu matematycznych i innych zdolności, nikt nie bada najprostszych cech niezwykle bogatego zasobu empirycznego, jakiego dostarcza powszechna oświata w celu poznania tego, czego rzeczywiście ona uczy i co temu sprzyja, a co nie. Poza oczywiście krzesłami vs. spacer po lesie, czy tablicami vs. iPadami. Wiemy np., że nasi uczniowie umieją postępować algorytmicznie, natomiast kiepsko myślą w sytuacjach nietypowych. To już coś. Natomiast nie wiemy, czy np wyrycie tabliczki mnożenia koreluje np. ze świamością przemienności, łączności mnożenia i jego rozdzielności względem dodawania. Podejrzewam, że koreluje odwrotnie. Gdyby się okazało, że tak jest rzeczywiście, stanie przed nami pytanie, które tu co i raz stawiam – czy na pewno warto zakładać, że tabliczka mnożenia to oczywista konieczność i czy nie opłaca się jej zawiesić.

      • No to ja mam pomysł na zaciekawiająca nauke tabliczki mnożenia: suwak logarytmiczny, tylko ze stalą 1-100, a nie 1-10 (jak te inżynierskie sprzed 100 czy 50 lat).

        A przy okazji – niech dzieciaki zrozumieją, jak ten suwak działa.

        PS.
        ogłaszam to publicznie, więc podlega ochronie patentowej mimo braku formalnego zgłoszenia ;)

        • Kiedyś profesor Kordos na swoim wykładzie powiedział, że logarytmy były największą rewolucją (przed komputerami)w matematyce. Ale czy warto wracać do historii? Ciekawe, co na ten temat myśli profesor, może go zapytam. Przy okazji polecam jego wykłady z historii matematyki (ale na żywo), strasznie mi pomogły w humanizowaniu matematyki.
          Danusia

      • Suwak mi się podoba – zwłaszcza dzięki wyjaśnieniu, jak działa. To genialny wynalazek.

        Natomiast niezupełnie rozumiem, do czego przydaje się tabliczka mnożenia, gdy przychodzi do ustalenia, ile to -1x+2x, albo -1x+1x, czy -6x+4x, o czym tu pisała p. Dorota. Przyznam, że nie mam pojęcia, czym jest metoda przeciwnych współczynników i nawet nie chce mi się tego sprawdzać, ponieważ wiem, czym logicznie są układy równań i na poziomie równań liniowych nie potrzeba mi żadnych sztuczek do ich rozwiązywania. Śmiem twierdzić, że trening w metodach rozwiązywania układów równań dość skutecznie utrudnia dzieciom zrozumienie, czym one w rzeczywistości są.

        W wynalazu pudełka Danusi, jak w ogóle w postulacie „pamięciowego opanywania” rachunków jest również kilka niepokojących rzeczy. Twierdzę, że dzieci, które rozumieją, czym jest dodawanie liczb i potrafią sobie wyobrazić jego przedłużenie na mnożenie, policzą cokolwiek mają policzyć, choć w niektórych przypadkach zajmie im to dłużej niż wtedy, gdy na pamięć znają tabliczkę mnożenia. Weźmy kartkę z napisem 5×6 i zapisaną na odwrocie „odpowiedzią” – 30, o której napisała Danusia, opisując ideę pudełka. Pierwszym narzucającym się pytaniem jest – czy w pudełku jest również kartka z napisem 6×5? Czy dziecko opanuwujące tabliczkę jakąkolwiek tego typu pamięciową metodą dowie się w końcu, że 5×6, to tyle, co 2×15 – pewnie tak, bo to zwyczajnie zauważy (choć iloczynów 15 już w pudełku nie będzie, a dwucyfrowe liczby będą się z kolei kwalifikowały do mnożenia pisemnego), ale związek 2×15 = 2x3x5 = 6×5 niekoniecznie będzie temu spostrzeżeniu towarzyszył. Nie damy mu szansy na kombinowanie, że np. dwie piątki tworzą dziesiątkę, a zatem sześć piątek da trzydziestkę. Sugeruję w ten sposób – a wiem to m.in. z własnych doświadczeń artymetycznego analfabety (dzisiaj pewnie stwierdzono by u mnie dyskalkulię) – że liczenie na palcach, na piechotę itd. tworzy okazje do rozmaitych sztuczek typu 8×9 = 8×10 – 8, co powoduje, że kolejne lekcje o tym, że mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i innych podobnych rzeczach, które z niejasnych powodów wydają się trudne zarówno dzieciom, jak męczącym te dzieci nauczycielom – te lekcje będą miały umiarkowany sens: dzieci rozumieją to z łatwością właśnie wtedy, kiedy sobie radzą samodzielnie z liczeniem.

        Pierwszą wiadomością, którą nauczyciel matematyki powinien bezwzględnie przekazywać dzieciom jest: wszystko tutaj da się wykombinować, wszystko jest zrozumiałe, tu nie musisz niczego pamiętać. Tym w końcu matematyka różni się od innych rzeczy.

        O ile więc pudełko jest środkiem na ujęcie dziecku męki wkuwania, o ile kolorowy papier, którym jest oklejone, sprawia, że się ono staje w oczach dziecka bardziej przyjazne, o ile miły być może rytuał codziennego przeglądania ukrytych w nim karteczek może budować w dziecku jakieś cenne nawyki – wtedy pomysł pudełka akceptuję. Ale jeśli uznamy, że to jest metoda po prostu dobra – szczerze mówiąc, ja wysiadam.

        • Pawle
          Widać można wykorzystać pudełko dalej. Po pierwsze można znaleźć wszystkie kartoniki z liczbą 30 i zobaczyć ile ich jest.
          Dla mnie jest też istotne śledzenie rozumowania ucznia, jeśli np powie, ze 5 x 6 jest 25, to można zapytać – jak do tego doszedł. Dzieci mają swoje strategie, pasjonujące zresztą.
          Pisałam tu kiedyś o zdarzeniu, gdy uczyłam dzieci reguły mnożenie przez 9 i byłam pewna, że najlepiej trafi mnożenie przez 10 i odejmowanie. Ale nie, odejmowanie jest trudniejsze od mnożenia i dzielenia.
          Nie bez przyczyny liczby ujemne tak późno weszły do matematyki, a przez pewien czas nazywano je diabelskimi.
          D

      • Mi też się podoba ten pomysł z suwakiem, choć mam ten bias, że sam na to wpadłem ;)

        No to bierzemy się za produkcję!

        Skala od 1 do 100, zaznaczone tylko liczby całkowite, na korpusie liczby pierwsze powyżej 10 wyszarzone – one w końcu nigdy nie staną się wynikami mnożenia.
        I wgłebienie+wypustka, fiksujące położenie listewki z 1 naprzeciwko liczb 1-10 z korpusu.

        A na górnej krawędzi listewki/korpusu – skala liniowa z dodawaniem liczb od 0 do 100.

        Szklane okienko z kreską — może się przydać, do zaznaczenia konkretnego wyniku.

        • Aplikacja na iPhone’a i iPada. Strasznie wygodne z dotykowym interfejsem. Moim zdaniem, siadaj, pisz i sprzedawaj przez AppStore po 5 eurocentów.

          • Nie, to przecież ma być dla małych dzieci, musi być przyjazne mózgowi, czyli do wzięcia w rękę. Nie musi być akacjowe drewno, prawdziwa kość słoniowa i mosiężne nity i precyzja wykonania Faber-Castell, ale przynajmniej porządny plastik.

            Każde dziecko wie, że komputery pokazują to, co się zaprogramuje, a nie rzeczywistość, więc ze skalami na takim suwaku emulowanym w iPhonie na pewno działoby się jakieś oszustwo.

        • Pudełko Danusi też łatwo oprogramować. Zauważ, że takich programów jest mnóstwo. Z suwakami chyba nie widziałem – pewnie są nieprzyjazne dla mózgu, czy coś…

    • Pani Doroto!
      Proszę popatrzeć na mojego przyjaciela z loży Muppetów, Pawła:
      skończył fizykę, uczy matematyki i fizyki i doskonale funkcjonuje w świecie nie znając tabliczki mnożenia. A ja, choć ją znam na pamięć (co kładę na mój aspergerowy umysł) i do 3+5 nie jest mi potrzebny kalkulator, nie skorzystałem z niej ani razu od 40 lat.

      Po jaką cholerę uczyć tego dzieci?
      Poza, oczywiście, wymaganiami egzaminacyjnymi…

      Zadam niedyskretne pytanie konkursowe: kto z Państwa (czytelników) przez ostatnie 30 lat choć raz użył algorytmu dzielenia na kartce w celu innym, niż replikacji tego memu (czyli by nauczyć go swoje czy cudze dziecko)?

      • Przeleciałeś. Liczyłam np średnią. Musiałam policzyć pole i trzeba było dwie liczby pomnożyć. Akurat rachunki mi się przydają np też w sklepie i banku.
        Danusia

      • I naprawdę mnożyłaś i dzieliłaś algorytmami pisemnego mnożenia i dzielenia? W sklepie i w banku?

        OK. Wierzę.
        Mi się to nie zdarzyło od ponad 30 lat. Tam, gdzie nie wystarczają obliczenia w pamięci biorę kalkulator. Od wczesnych 1980′. A wcześniej miałem suwak logarytmiczny (kto jeszcze pamięta coś takiego?) — prawdziwe cudeńko Faber-Castell.

        • A tak na marginesie (przepraszam za spam) — właśnie wykopałem z szuflady mój pierwszy porządny kalkulator: Hewlett-Packard 25.

          Czy pamiętacie coś takiego jak odwrotna notacja polska (RPN – reverse Polish notation)? HP-25 jej użawa.

          Muszę któreś z moich uczniów napuścić na arytmetykę w tej konwencji i na wspomnienie Jana Łukasiewicza.

          Dla tych, którzy nie wiedzą: RPN jest postfiksowym sposobem zapisu działań arytmetycznych, pozwalającym wyeliminować stosowanie nawiasów. To, co w klasycznej notacji zapisujemy jako $(3+4)\times(5+6)$ w odwrotnej notacji polskiej zapisuje się jako $3,\, 4 + 5,\, 6\ + \times$.

  11. Witam ponownie!
    Panie Pawle podając przykłady „-1x+2x lub -1x+1x lub -6x+4x…” odnosiłam się do używania kalkulatorów, w takim rozumieniu, że nawet dodawanie i odejmowanie jest obliczane na kalkulatorach.
    Panie Pawle, pisze Pan:
    „Danusia, opisując ideę pudełka. Pierwszym narzucającym się pytaniem jest – czy w pudełku jest również kartka z napisem 6×5? Czy dziecko opanuwujące tabliczkę jakąkolwiek tego typu pamięciową metodą dowie się w końcu, że 5×6,” Cenna jest Pana uwaga w tym względzie, dlatego rzeczywiście już w kl.2 szkoły podstawowej warto uczyć dzieci właściwości mnożenia, tu akurat mamy przemienność tegoż mnożenia.
    Dlatego to tzw. karteczek Danusi po jednej stronie wpiszę 5×6 i 6×5, a na odwrocie wynik.
    Wszystko ma swój czas, jest czas na zrozumienie i wyuczenie tabliczki mnożenia, ale również właściwości sumy, różnicy itd., które warto już wszczepić w młodszych klasach szkoły podstawowej.
    Jednak brnąc dalej, odpowiadając Panu „Xawer” uczenie dzieci algorytmu chociażby dzielenia pisemnego, nawet gdyby potem nie używało jego przez następne 30 lat – zdecydowanie należy uczyć algorytmów uczy to nie tylko myślenia, kojarzenia i zapamiętywania, ale też jest dobry na ćwiczenie pamięci.To przede wszystkim charakteryzuje matematykę!:)

    • I tu mamy zupełnie różne rozumienie pojęcia „myślenie”.

      Mam głębokie przekonanie, że wykonywanie jakiegokolwiek wyuczonego algorytmu nie ma niczego wspólnego z myśleniem ani kojarzeniem.
      Dokładnie ten sam algorytm wykonuje mechaniczny kręciołek — kalkulator księgowego sprzed 100 lat. A trudno te kilkadziesiąt zmyślnie połączonych ze sobą trybików uznać za istotę myślącą, kojarzącą i obdarzoną intelektem. Owszem, ma pamięć, około 30 bitów.
      To już wkuwanie na pamięć sur koranicznych trenuje pamięć w tysiąckrotnie większym stopniu, choć na rozwój myślenia i kojarzenia wpływ ma podobny, co mnożenie na kartce.

      Algorytmy pisemnego mnożenia są w szkole uczone na zasadzie musztry XVIII-wiecznego pruskiego piechura: on nie miał rozumieć jak działa karabin i zastanawiać się nad jego konstrukcją, tylko umieć go przeładować na tempa o 10s szybciej od gorzej wymusztrowanego piechura francuskiego. Te algorytmy albo w ogóle nie są uzasadniane, albo uzasadnienie ich jest podawane na marginesie i zaraz zapominane.

      Zapytajmy kogoś z dorosłych, nie mającego wykształcenia ścisłego, kto umie mnożyć na kartce, bo wytresowano go do tego w szkole, o uzasadnienie „dlaczego ten algorytm działa?”

      Mamy też widocznie zupełnie inną wizję istoty matematyki: dla mnie będącej strukturą logiczną, a nie zapamiętywaniem czegokolwiek ani nie wymusztrowanym wykonywaniem procedur, których istoty się nie rozumie.

      O ile jednak na początku XIX wieku zarówno sprawne liczenie na kartce jak i sprawne przeładowywanie karabinu miało spory sens praktyczny, o tyle dziś nie mają żadnego. Zrozumiała to nawet armia, odchodząc od musztry, ale szkoła tkwi z uporem w tym relikcie.

    • Pani Doroto,

      Pani uwaga o algorytmach dzielenia pisemnego prowokuje mnie natychmiast do kilku myśli. Chcę przy tym jednak wyraźnie zaznaczyć kilka rzeczy specyficznych dla mojego własnego punktu widzenia:

      1. Mam kilka pomysłów na treść edukacji bardzo radykalnie różnych od treści szkolnych podręczników, one są w stanie najwyżej w kilka miesięcy nadrobić zaległości 12 lat szkoły, ale wszystkie są adresowane do gimnazjalistów i licealistów. Nauczanie maluchów budzi u mnie respekt, wiem o tym bardzo mało i raczej próbuję głośno myśleć.
      2. Uważam, że dzisiejsza oświata w Polsce i na świecie (większych różnic tu nie ma) tworzy doskonały materiał empiryczny pokazujący przede wszystkim wady realizowanej w szkołach filozofii. W Polsce objawia się to tym, że 3/4 absolwentów oświaty ma głęboki uraz do matematyki. On nie wynika z talentów – Polacy boją się np. procentów nie dlatego przecież, że nie są ich w stanie pojąć.
      3. Wyjścia, które proponuję w odniesieniu do starszej młodzieży, jak również te, które mi przychodzą do głowy w odniesieniu do dzieci, są – delikatnie mówiąc – ekscentryczne i nauczyciele na ogół sądzą, że są one nie do wykorzystania w rzeczywistej szkolnej praktyce. Ja co prawda uważam, że również z punktu widzenia szkolnych testów i egzaminów opłaca się odrzucić szkolne podręczniki i nauczyć dzieci myśleć, a wtedy na testach poradzą sobie z łatwością. Jednak ewolucja stosowanych w szkołach testów (coraz częściej uniemożliwiających ocenę rozumowania i pozwalających jedynie sprawdzić prawidłowość wyniku), a także ewolucja treści i metod osłabia skuteczność takiego podejścia. Moi podopieczni gimnazjaliści (mają jedynki z matematyki i fizyki) wracając po moich warsztatach do szkoły, znając i rozumiejąc np. wyprowadzenia podstawowych wzorów teorii względności (bo czasem bierzemy się za tak ambitne dla dzieciaków zadania) i dysponując odpowiednim pojęciowym aparatem matematycznym obejmującym spore elementy analizy i algebrę w ciele liczb zespolonych często wcale nie mają w szkołach łatwiejszego życia, a przeciwnie.

      Wracając do algorytmów dodawania, mnożenia i dzielenia pisemnego i pytań, po co ich uczymy. To jest pierwsze pytanie, które sobie trzeba moim zdaniem postawić przed każdą lekcją. Odpowiedź, że to jest konieczne, by potem robić na tej podstawie rzeczy następne jest moim zdaniem fundamentalnym błędem, popełnianym również w filozofii oceniania kształtującego. Kiedy np. Danusia mówi, że celem ćwiczeń w znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb jest przygotowanie do dodawania ułamków o różnych mianownikach, to ja w tym widzę bardzo zasadniczy błąd. To po pierwsze jest cel nauczyciela – dla dzieci on jest obcy. Po pierwsze trzeba by najpierw wiedzieć przede wszystkim, dlaczego dla dzieci dodawanie ułamków ma się stać atrakcyjne na tyle, że zechcą z tego powodu zainteresować się żmudnymi w końcu rachunkami. To dość trudne – kto z nas, dorosłych, uznałby dodawanie ułamków za ciekawy problem i przyjemne zajęcie? Po drugie jeśli nawet cel ma być właśnie taki, to kolejność powinna być dokładnie odwrotna. Powinniśmy najpierw postawić przed dziećmi zadanie – dodać dwie nieprzystające liczby (wiedząc jednak koniecznie, dlaczego dzieci mają to potraktować jako ciekawe i angażujące wyzwanie), a potem cofnąć się z nimi do brakujących pojęć. To działa – dzieci, z którymi rozmawiam o teorii względności nie maja na ogół pojęcia ani o fizyce Newtona, ani o podstawowej matematyce i wszystkiego tego dowiadują się „po drodze”.

      Jeśli nauczycielowi nie uda się znaleźć powodu, dla którego to lub tamto zagadnienie okaże się ciekawe, powinien z niego po prostu zrezygnować – takie jest moje zdanie, a fakt, że się to znalazło w programie nie jest wystarczającym powodem. Efektem uporczywej realizacji nieinteresującego dzieci programu są wspomniane urazy do matematyki. Nad pytaniem o rzeczywistą przydatność algorytmów działań pisemnych, które tu Ksawery postawił, warto się zastanowić całkiem poważnie. Ksawery ma rację – ludzie już niczego pisemnie nie liczą. Praktyczna użyteczność tych rzeczy jest żadna. Pani intuicja, że to po prostu rozwija, podoba mi się. Z kilkoma zastrzeżeniami wszakże. Twierdzę, że podręcznikowe „realizacje” tych algorytmów uczą ich stosowania bez zrozumienia. Żaden z nich nie jest do zrozumienia trudny, a wszystkie one są sprytne i intensywnie korzystają z tych kilku podstawowych własności arytmetycznych (rozdzielność np.) oraz wyjaśniają oś konstrukcji pozycyjnej notacji i jej sens.

      Sam dość często wykorzystuję pisemne działania w niedziesiętnych systemach pozycyjnych. Nie spotkałem dotąd wśród swoich uczniów ani jednego, który umiejąc stosować te algorytmy, wiedziałby, dlaczego one działają. Wiem z tych doświadczeń, że im lepiej wyćwiczone jest dziecko w stosowaniu tych algorytmów, tym trudniej przychodzi mu zrozumieć istotę ich konstrukcji. Jedną ze sztuczek, które stosuję często jest „odgadywanie myśli” wykorzystujące fakt, że suma cyfr liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9. Dlaczego tak się dzieje, pokazuję z użyciem pisemnego odejmowania 10k – k. Tę własność da się uogólnić na niedziesiętne systemy. Schodząc w dół dochodzimy do systemu dwójkowego, w którym ona się okazuje trywialną tautologią, bo oczywiście wszystko dzieli się przez 1.

      Zostawiając te szczegóły na boku – rzeczywiście jeśli sens ma uczyć dzieci tych rzeczy, to nie po to, żeby osiągnęły biegłość w liczeniu, ale raczej po to, by poznając sprytną konstrukcję przeżyły rozwijającą przygodę intelektualną. Proszę zwrócić uwagę na konsekwencje, które z tego wynikają. Czy jest sens ćwiczyć potem dzieci w wykonywaniu obliczeń? Czy w ogóle wypada je z tego potem odpytywać na klasówkach? Jeśli celem i sensem takich zajęć jest zrozumienie pojmowane jako wyzwanie dla dziecka i przygoda intelektualna, to każde odpytywanie ten sens natychmiast zrujnuje.

      Podobnie jest z wzorem na objętość kuli, o co się kłóciłem z prof. Marciniakiem, autorem podstawy programowej, co już tu cytowałem kilka razy. Kto z nas liczy kiedykolwiek objętość kuli? Jaką wartość ma ten wzór dla wykształconego nie-matematyka. Ok. on ma ponad 2 tys. lat i jest elementem kulturowej klasyki. Ale w Grecji rozumiano, dlaczego on działa i jest prawdziwy. W naszych szkołach – wszędzie na świecie – dzieci dostają go do wkucia po to, by go stosować w rozmaitych zadaniach. To absolutne pomylenie podstawowych pojęć i celów.

      Twierdzę, że wszystko, co wiemy o dziecięcym poznaniu, naturalnej sekwencji wzajemnie się wyjaśniających pojęć, jest w dużej mierze fałszywe i skażone praktyką złej szkoły. Diabelskie liczby ujemne niekoniecznie muszą być trudniejsze i mniej realne niż wkuwanie na pamięć tabliczki mnożenia. Jej znajomość z kolei nie jest konieczną podstawą matematycznego myślenia. Absolutnie!

      Wracając do przykładu z podzielnością przez 9. Testowałem to na czwartoklasistach. Dzieci w tym wieku są się w stanie zafascynować magią „zgadywania myśli”. Dzięki temu udało mi się je „wkręcić”. Dzieci poznały logikę „zjawiska”, poznały dowód, poznały niedziesiętne systemy itd. To było dla nich bardzo trudne – fakt. Ale dzieci lubią trudne rzeczy, przecież zwłaszcza magia powinna być trudna. Te dzieci miały potem pełną świadomość wszystkich reguł łączności, przemienności, rozdzielności itd. Przecież wiedziały o wiele więcej niż to. Obawiam się jednak, że kolejne szkolne zderzenia np. z wyrażeniami algebraicznymi mogły w nich zabić efekty tych lekcji.

  12. Panie Pawle.
    Z chęcią zapoznam się z Pana pomysłami, zgadzam się że dzisiejsze nastawienie na testy jest kompletną pomyłką, biorąc pod uwagę, to że
    odpowiedzi są z góry określone.
    Jeśli chodzi o uczenie NWW (najmniejszej wspólnej wielokrotności), to ja rzeczywiście nie widzę konieczności wprowadzania tych treści i tego nie robię. Pomimo tego moi uczniowie radzą sobie bardzo dobrze z wyznaczaniem wspólnego mianownika.
    Może źle się wyraziłam z określeniem „myślenie”, w moim przekonaniu, to jest właśnie uzasadnianie i zrozumienie. Jednak zapamiętywanie też w matematyce ma sens!

    • Pani Doroto,

      „Sztuczka” z dziewiątką jest prosta i jeśli to o te pomysły Pani chodziło, to szkic jest taki:

      Prosi się delikwenta, żeby pomyślał sobie jakąś dowolną liczbę (należy uprzedzić, żeby nie była zbyt wielka, bo będzie trzeba liczyć). Następnie należy kazać mu wykonać przeliczenia tak, by go troszkę zmylić i mieć gwarancję, że wynik będzie podzielny przez 9. A więc np. dodaj 4, pomnóż przez 3, dodaj 2, pomnóż przez 3, odejmij 33 (wyjdzie 9N + 9). Następnie należy poprosić o zsumowanie cyfr wyniku. Jeśli i ta suma będzie liczbą wielocyfrową, należy zsumować ponownie. Wychodzi 9, co zgadujemy ku zaskoczeniu delikwenta. Przy okazji – ja zatrudniałem przy tej i podobnych okazjach dzieciaki, by podobne zagadki zadawały sobie nazwajem, co jest kolejną „nieinwazyjną” metodą skłaniającą dzieci do liczenia. Proszę spojrzeć zresztą – sztuczka z dziewiątką wykorzystuje kawałek szkolnego materiału o wyrażeniach algebraicznych i pokazuje, że dzieci więcej zrozumieją układając te wyrażenia niż je tylko rozwiązując.

      Teraz pokazujemy dzieciom, jak ta sztuczka działa – pokazujemy to odejmując pisemnie. Część moich czwartoklasistów to umiała, a część nie. Wszystkim trzeba było po drodze pokazać sens dodawania i odejmowania pisemnego – dzieci w ogóle nie zdawały sobie sprawy, że liczba zapisana ciągiem znaków N1 N2 N3 jest równa N3x1 + N2x10 + N1x100. Nie rozumiały więc tym bardziej, dlaczego działa algorytm pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Trzeba im to było uświadomić i pokazać, jakie korzyści ma taki sposób zapisu (zwracając uwagę na znaczenie np. zera w pozycji N2) – a jedną z korzyści są oczywiście działania pisemne.

      Część moich dzieciaków wykazywała w tym miejscu opór, twierdząc – słusznie – że do liczenia są telefony i komputery. Obiecałem im, że im pokażę, jak można zrobić komputer z drewna i wdałem się z nimi w krótką rozmowę o tym, czy komputer myśli. Wszyscy miewamy takie wrażenie, kiedy z nim gramy nie tylko w szachy, ale również w jakieś np. strzelanki, kiedy komputer zachowa się „sprytnie”. Albo kiedy zaczyna „wariować” i nie chce zrobić czego od niego chcemy. Lekcja na ten temat była osobnym i właściwym tematem, który akurat ja z moimi dzieciakami realizowałem. Tematem była mianowicie sztuczna inteligencja. Sztuczka z dziewiątką pojawiła się po drodze, żeby nie było nudno. Ale sama ta sztuczka pozwala uniknąć wstępu o teorii systemów dziesiętnych. Można od razu przejść do pokazania, dlaczego wynik będzie zawsze dziewięć. Konstrukcja układu pozycyjnego i sens algorytmów pisemnych wyjdzie przy okazji i nie ma potrzeby zawracać tym dzieciom głowy, skoro da się od razu przejść do rzeczy.

      Proszę spojrzeć. Trzeba pisemnie odjąć 10K – K. Nie tracąc wiele z ogólności przyjmijmy, że mamy do czynienia z liczą trzycyfrową. Odejmujemy zatem pisemnie:

      N1 N2 N3 0
      - N1 N2 N3

      Sam ten zapis już coś dzieciom zaczyna wyjaśniać – część tych moich, zaczynała na ten widok kombinować samodzielnie. Pod kreską po prawej stronie, od której zaczynamy, dostajemy oczywiście wynik:

      10 – N3

      Na drugim miejscu dostajemy (niekoniecznie tak, ale o tym za chwilę):

      N3 – 1 – N2 i dalej:
      N2 – N1
      N1

      Suma powyższych wierszy daje zawsze 9. Ale oczywiście nie zawsze musi się tak złożyć. Może się np. zdarzyć, że na drugim miejscu N3-1 będzie mniejsze od N2 i przy odejmowaniu trzeba będzie tutaj pożyczyć jedną z N2x10 dziesiątek z kolumny setek obok. W takim przypadku lista kolejnych cyfr będzie wyglądała z kolei tak:
      10 – N3
      10 + N3 – 1 – N2
      N2 – 1 – N1
      N1

      Co dodając, otrzymujemy zawsze 18. Itd. Dowód ten dość łatwo uogólnić na dowolną liczbę cyfr w zapisie liczby i dowolną liczbę kombinacji w rodzaju tej, której przed chwilą dokonaliśmy, pokazując, co się dzieje w sytuacji „pożyczania” dziesiątki. Formalny dowód można dzieciom darować. Wszystko, co trzeba zobaczyć, widać aż nadto wyraźnie na dwóch lub trzech cyfrach.

      Można w ten sposób pokazać te same działania w systemach innych niż dziesiętne, co w tym miejscu zaczyna być dla dzieci zabawne samo w sobie. Można sprowokować dzieci, by z wykorzystaniem systemów innych niż dziesiętne, umiejąc przeliczać z jednego systemu na drugi, opracowały „magiczne sztuczki” z wynikiem innym niż 9, choć to już jest skomplikowane. Systemy „krótsze” od dziesiętnego ujawniają swoje zalety przy mnożeniu i dzieleniu. Okazuje się, że tabliczka mnożenia 10×10 jest być może nieopotrzebnie długa, bo w systemie piątkowym 5×5 zupełnie wystarczy, a w dwójkowym mnożenie i dzielenie staje się trywialną operacją przesuwania klocków. Dzieci zwykle dobrze się bawią mnożąc i dzieląc w systemie dwójkowym.

      Porządny scenariusz takiej lekcji, najlepiej z wykorzystaniem drewnianego komputera i tematu inteligentnej maszyny, bo wtedy się robi naprawdę ciekawie mogę tu umieścić za jakiś czas. Teraz trochę jestem zajęty.

      Takie lekcje prowadziłem z dzieciakami jeszcze w mieście (zanim się wyniosłem do lasu) i osiągałem niezłe rezultaty zwłaszcza łącząc dzieci w różnych grupach wiekowych. Gimnazjaliści układali problemy, pisali programiki wizualizujące różne rzeczy dzieciom młodszym, uczyli je opisanych tu rzeczy i mnóstwa innych, samemu ucząc się również na potęgę, bo oczywiście także gimnazjaliści nie mają przecież pojęcia, dlaczego algorytm pisemnego dzielenia działa, a niedziesiętne systemy liczbowe są dla nich często trudniejsze niż dla maluchów. W takich sytuacjach rolą nauczyciela jest tylko pomagać dzieciom starszym w uczeniu młodszych, a obie grupy uczą się na potęgę – nauczyciel zresztą również.

      • Jeszcze dodatek, Pani Doroto. Dwójka moich gimnazjalistów (już tych „leśnych” z pałami z matematyki) zrobiła ze sztuczki z dziewiątką takie oto „intro” do strony internetowej, którą składaliśmy w ramach warsztatów:

        http://madagascar.com.pl/Inne/czaszka.swf

        Wymagany jest flash reader, żeby to obejrzeć – i stosunkowo dobra karta graficzna w komputerze, żeby to się odtwarzało. Oryginalnie była tam ścieżka dźwiękowa z niesamowitą muzyką i rozmaitymi efektasmi dźwiękowymi, co musiałem usunąć, bo inaczej naruszyłbym prawa twórców tej muzyki.

        Programik, który obsługuje to „intro” jest już całkiem zaawansowany. Dzieciaki pracowały nad tych chyba z tydzień. Moja pomoc ograniczała się do ortografii :) oraz niektórych elementów składni oprogramowania (bo kiedy się początkuje w języku, nazwy używanych w nim funkcji bywają największym problemem). Programik działa niezbyt wydajnie (co zobaczy Pani zwłaszcza otwierając go na słabszej maszynie), ale optymalizacja jest osobnym i trudnym zagadnieniem, wymagającym wprawy, której dzieciaki nie mają (ja zresztą też nie). Niezależnie od wszystkiego szkolni nauczyciele moich dzieci ani nie mogli uwierzyć, że te dzieci są w stanie wykonać coś takiego, ani oczywiście sami nie mają pojęcia, jak się za takie rzeczy brać.

        Według mnie pomysłem bliskim ideałowi jest prowadzenie zajęć o tym samym problemie w grupach dzieciaków w różnym wieku i na różnym poziomie umiejętności z różnych dziedzin. Starsze dzieci na przykład projektują tego typu symulacje, gry i zadania dla dzieciaków młodszych. Wszyscy się uczą i to bardzo intensywnie. Nawet Wiesław jest usatysfakcjonowany, bo empatia dzieciaków oraz nauczyciela jest to ćwiczona na tysiąc sposobów.

        • Ja też jestem zachwycona. Szczególnie ten filmik, znacznie większe wrażenie robi, niż polecenie liczenia przez nauczyciela.
          Pawle, a jak jest z użyciem tego filmiku na lekcji, czy jakby ktoś z nauczycieli chciał, to czy i na kogo może powoływać?
          Danusia

          • Autorów jest dwoje: Piotr Gadomski i Aneta Miąskiewicz – jeśli o to pytasz. Materiał w tej lub zmodyfikowanej wersji pewnie kiedyś wreszcie trafi na stronę mojej fundacji, jeśli ją kiedokolwiek zdołam złożyć do kupy :) Ale szczerze mówiąc, polecałbym z dziećmi raczej robić takie filmy niż je oglądać. To zaś jest dobre zajęcie raczej od gimnazjum, bo jednak programowanie we Flashu takie całkiem proste nie jest. Nie chodzi przy tym o trudność samą w sobie, ale o fakt, że to się robi dość żmudne zajęcie – i choć oczywiście da się próbować zacząć od rzeczy prostszych, to jednak one z tego powodu dają mniejszą frajdę. Jest kilka narzędzi, dzięki którym dzieci mogą programować w niezwykle prosty sposób, składając program z gotowych klocków i nie martwiąc się o sładnię języka, błędy kompilacji itd. Nie pamietam nazw – jest software do programowania klocków Lego Mindstorms zrobiony dawno temu w MIT, w tym samym MIT zrobiono jeszcze chyba ze dwie platformy programowania dla dzieci. Ludzie sobie je chwalą, ale w mojej ocenie one tworzą zbyt mało możliwości.

            Dla mniejszych dzieciaków z kolei proponowałbym choćby powyższe rozumowanie demonstrujące działanie sztuczki z dziewiątką – zamiast ćwiczeń z algorytmów działań pisemnych. Z własnego doświadczenia wiem, że jeśli w ten lub inny sposób spowodujesz, że dzieci rozumieją istotę systemu pozycyjnego (mało kto z dorosłych ją rozumie), jeśli one zrozumieją również logikę działania tych algorytmów, to ćwiczenia stają się zbędne. Przy okazji z głowy masz również sporo problemów z wyrażeniami algebraicznymi itd.

            Tego rodzaju materiałów mam sporo – robiłem je sam, albo robiły je dzieci w trakcie zajęć. W zamierzeniu miał z tego powstać tworzony przez dzieci zasób edukacyjny, ale oczywiście zabrakło kasy – mojej, bo robiłem to po prostu sam. Teraz próbuję działań bardziej systematycznych, ale idzie mi to strasznie powoli. W każdym razie sztuczka z dziewiątką była elementem większego cyklu zajęć adresowanych głównie do gimnazjalistów i dotyczącego kilku problemów związanych ze sztuczną inteligencją. W ramach tego cyklu młodzież uczyła młodsze dzieci właśnie takich rzeczy, jak liczenie pisemne w różnych, także niedziesiętnych systemach itd.

            Będę próbował pozbierać te rzeczy i jakoś je m.in. tutaj Wam udostępnić. Ale chcę też zwrócić uwagę, że to są wszystko rzeczy, owszem, wymagające poświęcenia uwagi, ale niezbyt odkrywcze i jakoś specjalnie trudne do wymyślenia. Wystarczy się odkleić od podręczników i własnych wspomnień ze szkoły, a pomyśleć o tym, czego i właściwie po co chcemy nauczyć dzieci. A potem poszukać naprawdę atrakcyjnej narracji i jakiegoś ciekawego dla dzieci problemu. Im dzieci starsze, tym łatwiej wybrać rzeczy ciekawe – wystarczy np., że to są rzeczy ciekawe dla nauczyciela. Jeśli się nie udaje znaleźć problemu ciekawego dla dzieci – moim zdaniem to tworzy bardzo mocny powód, by z tematu raczej rezygnować, niż brnąć w to na siłę.

          • A ja tylko na marginesie:
            Twoje dzieciaki całkiem sprawnie oprogramowały to, żeby czaszka wodziła oczyma za kursorem.
            Idę o duży zakład, że miałeś z tego powodu okazję do kilkunastu godzin dyskusji z nimi o twierdzeniu Talesa, kątach, sinusach i cosinusach, perspektywie zbieżnej (zwanej przez nie zezem), etc. Dużo więcej punktów zaczepienia do uczenia się matematyki, niż główny temat podzielności przez 9.

            Takie zabawy z animacja albo statycznym programowaniem grafiki mają dwie ogromne zalety dydaktyczne:
            – po pierwsze są wciągające i z same przez się interesujące;
            – po drugie nie wybaczają błędów — dzieciaki same widzą, że coś zrobiły nie tak, gdy oczka patrzą każde w inną stronę, więc pokazują sens staranności w przekształceniach i dają dużą dopaminową nagrodę za samodzielne znalezienie błędu.

          • Programowanie tego filmiku oczywiście nie miało niczego wspólnego ze sztuczką z dziewiątką. Po prostu starsze dzieciaki robiły to dla młodszych. Choć akurat w przypadku moich wiejskich dzieci cała sztuka polega na tym, że dzieci mają robić filmy zrozumiałe dla innych dzieci, a ja się gimnastykuję, żeby to nie były filmy o hiphopowych składach, tylko edukacyjne. Wynajduję tematy, które są w stanie zaintrygować dzieciaki. Z własnego doświadczenia przy realizacji filmów dokumentalnych wiem, że człowiek uczy się wtedy niezwykle intensywnie wszystkiego, co wiąże się z tematem filmu. Chodzi o to, że dzieci, chcąc zrobić film o Powstaniu Warszawskim (robienie filmów je kręci), po niewoli muszą wiedzieć o tym wydarzeniu cokolwiek. W tym akurat przypadku dwójka autorów tej animacji oczywiście na starcie naszych warsztatów ani nie miała pojęcia, dlaczego zawsze wychodzi 9, ani nie umiała niczego dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić pisemnie – o trygonometrii nie wspomnę. Nie pamiętam, czy oni znali tabliczkę mnożenia. W każdym razie zacząłem z nimi, o ile pamiętam tę grupę, od problemu myślącej maszyny zmierzając do twierdzenia Goedla – żeby nie było wątpliwości. Nie od tabliczki mnożenia, nie od rozdzielności względem dodawania, nie od ułamków, sinusów itd. – żadnych podstaw. Na początek Goedel – to usiłuję tu powiedzieć od samego początku. W trakcie warsztatów ta akurat dwójka postanowiła zrobić takie właśnie „intro” do całego przygotowywanego materiału. Było adresowane do młodszych dzieci, ale miało się nadać jako wstęp do działań w systemie dwójkowym. Następna prezentacja – zrobiona modelem 3D już nie interaktywnym (wtedy jeszcze sam tego nie umiałem, a dzisiaj już umiem i nauczyłem się tego z dziećmi) pokazywała mechaniczny komputer wykonujący logiczne operacje na przelatujących przezeń kulkach. To był wstęp do uproszczonej prezentacji goedlowskiego formalizmu.

            Mam gdzieś chyba prostą (graficznie i programistycznie prostszą) prezentację pokazującą dowód sztuczki z dziewiątką. Fakt – programowanie gałek oczu wymagało sporej gimnastyki, choć – zauważ – wcale nie liczenia. Za tworzenie tego czegoś dzieciaki wzięły się, jeśli pamiętam dobrze, po niecałym miesiącu zajęć. Programowanie zajęło im chyba tydzień. Możesz sobie wyobrazić to zupełnie zawrotne jak na szkolne standardy tempo, w jakim ta dwójka uczyła się rzeczy całkowicie dla siebie nowych.

            Żadne z autorów nawet nie próbowało iść np. do liceum. To już całkiem osobny rozdział nie związany ze szkołą, tylko z siłą działania środowiska tutaj. Ale o szkole mogę powiedzieć tyle – a wiejskie szkoły nie różnią się tu jakościowo od miejskich – że po skończonych warsztatach ta dwójka miała takie same pały z matmy jak i przedtem. Co spowodowało, że się teraz milion razy zastanawiam zanim sobie wezmę na głowę kolejne dzieciaki. Wolę być przygotowany do tego, żeby im być w stanie pomóc również po swoich krótkich kursach. Póki co zwyczajnie mnie na to nie stać. Powinienem w najbliższym czasie zacząć następny kurs, jeśli mam prowadzić te zajęcia w tym roku. Póki co wygląda, że jednak nie zacznę.

          • Jeszcze coś. Goedel dlatego, że to jest trochę o ludzkiej duszy :) , ale i dlatego, że to chyba najtrudniejsze co sam jeszcze potrafię zrozumieć. Bynajmniej nie dlatego, że to dla mnie łatwe i podstawowe.

          • Z Goedlem poszedłeś ambitnie. Choć, czy on tak bardzo o ludzkiej duszy?

            Moje oprogramowanie widoku szklanej kuli (http://osswiata.pl/stojda/2012/10/16/jak-wyglada-szklana-kula-cz-1/) też było punktem zaczepienia do mnóstwa zagadnień z geometrii, trygonometrii, macierzy, etc. ale pozostawaliśmy przy takich przyziemnych sprawach jak kąty Eulera — a Goedla podchodziliśmy przy innych okazjach. I to wyłącznie ze starszymi — licealistami.

            Ja sam mam do twierdzenia Goedla ambiwalentny stosunek, bo moje jego rozumienie (w metafizyczno-interpretacyjnym sensie, bo w czysto logicznym jest jak jest…) jest dość niestandardowe, a nigdy nie miałem okazji przedyskutować go z filozoficznie nastawionymi matematykami, ani z matematycznie wykształconymi filozofami: widzę je nie jako dowód niemożności stworzenia zupełnej struktury aksjomatycznej, zawierającej arytmetykę, tylko raczej jako kolejną wersję paradoksu kłamcy czy paradoksu Russela: zakaz autoreferencji, obowiązujący na jeszcze jednym polu, tym razem struktur aksjomatycznych.
            W tym moim rozumieniu tw. Goedla jest dużo mniej nośne filozoficznie, niż to powszechnie jest uznawane, stąd może i moja rezerwa do wykorzystywania go na zajęciach. Choć, oczywiście, jeśli uczeń w jego stronę ciągnie, to nie opieram się.

            Programowanie oczek po miesiącu zajęć doskonale potrafię sobie wyobrazić — nawet nie muszę wyobrażać, mogę przywołać z pamięci…

            Chyba nawet szybciej niż po miesiącu.
            Choć ja zazwyczaj pracuję z trochę starszymi niż Twoi, a poza tym obaj (czy chcemy tego, czy nie) narzucamy do pewnego stopnia swoje gusta. Ty jesteś prawosławny, a ja z luterańskiej tradycji: stąd i w programach Twoich uczniów złote spadające literki i kręcące się oczy, a u mnie asceza szklanej kuli…

          • Oczywiście, że chodzi o gusta. Obaj – zdaje się – rozmawiamy z dziećmi o tym, co sami uznajemy za interesujące. Ponieważ z moimi dzieciakami to jest zupełnie rozpaczliwa walka o to, by je zainteresować czymkolwiek, ja zwyczajnie używam rzeczy, które mnie po prostu fascynują. Inaczej nie umiem.

            Też uważam, że Goedel jest o autoreferencyjności, jeśli tak na to patrzeć, a z interpretacjami filozoficznymi trzeba mocno uważać, jak w przypadku zasady nieoznaczoności i tezom, jakoby ona oznaczała dotarcie do granic poznania.

            Natomiast miesiąc w przypadku moich dzieciaków to dobre tempo, bo zaczynaliśmy nie tylko od kompletnego zera w matematyce, ale również od podstawowych kłopotów w czytaniu, choć akurat – nie przypadkiem chyba – ta dwójka pod tym względem odstawała na korzyść od reszty grupy.

    • Ach jeszcze jedno, Pani Doroto. O pamięci i jej roli w matematyce. Nie wiem, co dokładnie ma Pani na myśli. Ja jestem zupełnie pewien, że w moich własnych lekcjach absolutnie koniecznie trzeba dzieciom „wbijać do głowy” najpierw właśnie to, że tutaj zapamiętywanie nie ma sensu i do niczego nie jest potrzebne – tu trzeba myśleć. Ale to może dlatego, że mam już do czynienia z „ofiarami szkoły” i wyuczonej bezmyślności. Pamięć ma w matematyce wiele znaczeń. Wśród nich na przykład to, że łatwiej zapamiętujemy rzeczy, które mają wyraźną strukturę (co jest jednym z powodów, dla których sympatyczne skądinąd pudełko Danusi podoba mi się średnio). Sam po bisko 40 latach pamiętam numer telefonu, który moja pierwsza w życiu miłość podała mi z następującym wyjaśnieniem (mogę je tu powtórzyć nie grzesząc przeciw dyskrecji – system numerów dawno już zmieniono i numer żadnej tajemnicy nie ujawnia):

      „Najpierw jest 22, bo to śródmieście” – zaczęła dziewczyna. „2 i 2 to 4. Po 4 jest 5, 4 i 5 to 9, a 2 jest na końcu, bo 2 jest też na początku. 22 45 92″. Usłyszałem to ledwie raz i wstrząśnięty logiką zapamiętałem skutecznie na resztę życia, choć twarz tej dziewczyny zdążyła już mocno wyblaknąć w mojej pamięci. Twierdzę wobec tego, że sens – nawet tak absurdalny – powinien wyprzedzać pamięć. Jestem przy tym przekonany równie silnie jak Marzena, że taka kolejność jest przyjazna dla mózgu.

  13. Jestem pod ogromnym wrażeniem! Ja nie pamiętam analogicznego numeru telefonu…

    A swoją drogą: kolejne cyfry definiowane są jako:
    - inkrement poprzedniej (więc za równoprawne metody należałoby uznać co najmniej tożsamość i dekrement);
    - suma dwóch poprzednich (więc i iloczyn albo różnica byłyby równie dobre);
    - powtórzenie którejś (pierwszej, ale dlaczego nie trzeciej?) z poprzednich.

    Już mamy więc 10 sposobów zdefiniowania każdej kolejnej cyfry. To, nawet zakładając, że wszelkie inne sposoby jej utworzenia są poza naszą wyobraźnią, daje dokładnie taką samą shannonowską zawartość informacyjną Twojego sposobu zapamiętania, jak numeru samego w sobie.

    I tu pytanie-wątpliwość: dlaczego taka reguła miałaby być łatwiejsza do zapamiętania od samego numeru? Dla mnie byłaby równie trudna. Bez notesu nie poradziłbym sobie ani z jednym, ani z drugim.
    Ale widzę, że wielu ludziom takie mnemotechniki pomagają — widać rzeczywiście są przyjazne mózgowi bardziej, niż zapamiętywanie cyferek.

    • Zapewniam Cię, że łatwość w zapamiętaniu tego numeru była wprost proporcjonalna do absurdalności cytowanego algorytmu oraz urody dziewczyny :) Wydajność zresztą nie jest wcale tak mała, bo z opisanej przez Ciebie przestrzeni raptem właśnie inkrement i suma znalazły tu zastosowanie, więc rzeczywiście numer zdarzało mi się – pamiętam dobrze – odtwarzać z użyciem tego algorytmu niezależnie od tego, jak był absurdalny oraz niezależnie od faktu, że nawet jeśli wymagał zapamiętania mniejszej ilości faktów niż sam numer, to różnica nie była wielka. Natomiast jest prawdą, że ludzka pamięć działania przedziwnie, a jeszcze dziwniejsze bywają skojarzenia, którymi się posiłkujemy. Mój kolega historyk używał skojarzeń „Lenin – Piłsudski – Stalin” dla zapamiętania numerów 24 35 53, zupełnie inaczej niż ja widząc symetrię rządzącą np. czterema ostatnimi cyframi z jednej, a biografiami z drugiej strony. Shannonowski koncept – zakładam – co innego oznaczał dla mnie, a co innego dla niego.

      • Abstrahując od niewątpliwej atrakcyjności dziewczyny i wielkości jej biustu, a skupiając się na wielkości entropii informacyjnej, mamy tu dwa ciekawe zagadnienia:

        1. większa łatwość zapamiętywania algorytmów niż danych, nawet absurdalnych algorytmów. Temat dla Marzeny. Prawdą jest, że większości ludzie tego typu mnemotechniki pomagają, choć rozdymają shannonowską informację. Why???

        2. shannonowska informacja zawarta w tego typu algorytmach. To znaczy, z jakiej przestrzeni możliwych operacji wybieramy?
        Z pewnością działa mechanizm (1), bo wielu ludzi potrafi stworzyć skuteczną tego typu mnemotechnikę dla dowolnego numeru telefonu, więc shannonowska informacja tej mnemotechniki w ich własnej przestrzeni operacji nie może być mniejsza, niż zawarta w samym numerze.
        Ale sposób doboru takich mnemotechnik i przestrzeni symboli ich języka, wraz z elementarnymi prawdopodobieństwami ich wystąpienia może być całkiem ciekawym tematem do zastanowienia się i ewentualnie zbadania.

        Kurczę, jakiegoś psychologa eksperymentalnego by na to napuścić….

        • Negroponte w „Being Digital” cytował przykłady, które wyjaśniają wiele tego typu sytuacji, przekraczających podstawowe twierdzenie Shannona i dopuszczoną nim maksymalną prędkość przekazu informacji. Mówisz po angielsku do Japończyka, którego asystent tłumaczy rozmowę. W odpowiedzi na Twoją długą kwestię Japończyk reaguje dwoma groźnie brzmiącymi sylabami, których przełożenie na nagielski zajmuje asystentowi dobre 5 minut. Ki diabeł? Może w rzeczywistości konwersujesz z asystentem, a szef tylko robi z Ciebie idiotę? Nic podobnego. Japoński język podobno sprzyja komunikatywności, ale przede wszystkim – twierdzi Negroponte – ci panowie świetnie się znają i nie muszą gadać zbyt wiele. Zgrane małżeństwo na przyjęciu jest świadkiem jakiejś sytuacji, żona puszcza oko do męża – dokładnie jeden bit informacji – co uruchamia w pamięci obojga pokłady wspomnień i skojarzeń sprawiające, że mrugnięcie okiem zamienia się w zabawną anegdotę, z której oboje śmieją się w głos ku skonsternowanemu zdziwieniu pozostałych. Na tym samym przyjęciu ktoś pyta Cię po fińsku, czy nie dolać Ci wina. Nie znasz fińskiego, ale doskonale rozumiesz, o co chodzi i odpowiadasz prawidłowo, ponieważ pytający trzyma oczywiście w wyciągniętej ręce butelkę, którą wskazuje Twój pusty kieliszek. Itd. Druga sytuacja – mrugnięcie oka – tłumaczy kodowanie numeru historycznymi skojarzeniami. Shannonowska miara kodu jest większa od kodowanych numerów, ale wymaga mniejszej ilości nowej informacji. To nie wszystko – informacja „nagrywa się” w często używanych, zatem szybciej dostępnych rejonach pamięci, niż zapisałby się sam numer. Przedziwne wyjaśnienie dziewczyny ma nieco bardziej wprost numeryczno-matematyczny charakter i w rzeczywistości wiele mówi o jej sposobie myślenia. Była dobra w skomplikowanej algebrze, analizę rozumiała natomiast z dużym trudem, a wszelkie wizualizacje i trudniejsze pojęcia geometryczne trzeba jej było wielokrotnie i na różne sposoby rysować. Została informatykiem i była bardzo dobra, o ile wiem. Produkowanie historyjek, jak tej z numerem telefonu, przychodziło jej ze zdumiewającą łatwością i widziała liczbowe związki tam, gdzie przecież żadnych nie było. Zawodowo shannonowska niewydajność nie przeszkadzała jej wcale, ponieważ twierdziła, że długie kody działają szybciej niż oszczędne, wielokrotnie realizowane pętle poleceń.

        • Właśnie nie do końca wyjaśniają i nie przekraczają twierdzeń Shannona ani Nyquista.
          Języki naturalne mają ogromną redundancję i nic specjalnie dziwnego w tym, że jedne mają ją trochę większą, inne mniejszą. Japoński ma mniejszą niż angielski, a angielski mniejszą niż polski.
          To doskonale widać porównując te same teksty w tłumaczeniach: polskie tłumaczenie jest zazwyczaj ok. 20% dłuższe (mierząc liczbą liter do zapisania) od angielskiej wersji tego samego tekstu.
          Gest kelnera czy mrugnięcie okiem do żony też niosą informację i to nie jednobitową, a równą $-\log_2 p$, gdzie $p$ jest prawdopodobieństwem a priori wystąpienia danego gestu. Jeśli żona miałaby zapalenie spojówek, to jej mrugnięcie nie niosłoby żadnej treści. Treści nabrało przez to, że wystąpiło w sytuacji, w jakich mruga ona niezwykle rzadko. Do tego resztę informacji zapewnił kontekst, również nie będący przypadkowym.

          Z zapamiętywaniem numerów telefonicznych jest ten problem, że one już są pozbawione redundancji (za wyjątkiem prefiksu, wynikającego z geografii, czy pierwszych dwóch cyfr (22=śródmieście), wynikających ze znanej niezależnie wiedzy o miejscu zamieszkania dziewczyny. Ale pozostałe 4 cyfry numeru to niewyjęte 13 z hakiem bita.

          Jak by ich nie ubierać w narracje i skojarzenia, to możesz to najwyżej rozwodnić redundancją, ale te 13 bitów jakoś musisz zakodować i mniej niż 13 bitów z tego nie zrobisz. Masz 10,000 równouprawnionych możliwości.

          To, co mnie nurtuje, to dlaczego tak jest, że łatwiej zapamiętać o jaką parę spośród setki równoprawnych skojarzeń historycznych chodzi, niż o jaką parę liczb 0-99.

          Z tym, że tak jest nie dyskutuję — dla większości ludzi to jest łatwiejsze i tę własność umysłu świadomie i skutecznie wykorzystują różne treningi mnemotechniczne.
          Zapewne ma to coś z tymi 200,000 lat biegania po sawannie, gdzie przyniesienie do obozu wieści, że w stadzie było 17 zwierzaków było dużo mniej użyteczne od wieści, że zauważyło się mnóstwo antylop w lasku na zachód od obozu. Więc i łatwość zapamiętywania kombinacji 1 z 10 gatunków (antylopa, królik, lew…) i 1 z 10 lokalizacji była premiowana ewolucyjnie nad zapamiętaniem liczebności 1-100 stada.
          Choć oba te zapisy w pamięci mają taką samą shannonowską objętość informacyjną.

          seria skojarzeń historycznych czy innych nie może zawierać mniejszej ilości informacji shannonowskiej, niż numer telefonu sam w sobie — inaczej nie byłaby zdolna do zakodowania dowolnego numeru. O ile 22=śródmieście nie wymagało zapamiętywania, bo wynikało jednoznacznie z tego, że wiesz gdzie ona mieszka, to pozostałe 4 cyfry niosą niewyjęte 13 z kawałeczkiem bita. Możesz je ubrać w coś o dowolnej większej informacji w sensie kodu, ale nie mniejszej!

          Na gest fińskiego kelnera odpowiadasz poprawnie, ponieważ towarzyszące mu słowa są czystą redundancją: cała treść zawarta jest w geście. Ale ten gest niesie informację sam w sobie: mógł się pojawić bądź nie z pewnym prawdopodobieństwem a priori $p$, więc jego wystąpienie niosło już informację $-p\log_2p $

          Oczywiście, że japoński jest bardziej skompresowany niż angielski, a ten bardziej, niż polski — ma mniejszą redundancję. Do wyrażenia tej samej myśli potrzebujesz mniej słów, a słowa są krótsze. Ale to nie znaczy, że można zejść z kompresją dowolnie głęboko. I akurat numery telefoniczne są tej redundancji już całkowicie pozbawione (poza prefiksem czy początkową grupą cyfr, jednoznacznie wynikającymi z wiedzy geograficznej).

          No i tym razem zaspamujemy Danusię…

        • Oczywiście twierdzenia Shannona przekroczyć się nie da – ono jest ścisłe. Mówię o tych kontekstach, dzięki którym bit informacji docierającej do mózgu odkodowuje informację całkiem dużych rozmiarów. Ma to ogromne znaczenie w percepcji na różnych poziomach (od prostej interpolacji np. obrazu przedmiotów poza polem widzenia, który mimo to „widzimy” po rozmaite skojarzeniowe historie wyższego poziomu). Negroponte – wtedy szef Media Lab w MIT – opisywał to z tego punktu widzenia, postulując projektowanie interaktywnych interfejsów komputerowych i zwracając uwagę na to, jak wielokanałowa i jak bardzo wzajemna musi być w istocie komunikacja między maszyną, a jej użytkownikiem.

          Informacja zakodowana „na sposób historyczny” w czysto technicznym sensie ma większą zawartość informacyjną niż wersja przed zakodowaniem. Funkcjonalnie natomiast w dziwacznym mózgu tego akurat faceta, gdzie daty śmierci Lenina, Piłsudskiego i Stalina funkcjonowały równie naturalnie, jak pamięć mięścniowa użyteczna w chodzeniu, taki sposób kodowania okazywał się nie tylko oszczędny (i szybki, co również cenne), ale i nacechowany pewną dozą czarnego humoru, co dodatkowo ułatwia sprawę.

          Kodowanie z użyciem następników, sum itd., którego użyła wobec mnie tamta dziewczyna, oczywiście nie miało w sobie żadnych wartości typu kompresja danych, ale również w jakiś sposób korzysta ze specyficznych funkcji architektury „klient – serwer”, która daje o sobie znać w sytuacji mrugnięcia okiem. Mrugnięcie jest zrozumiałe i da się porównać do oprogramowania sieciowych gier w wirtualnej rzeczywistości. Przez sieć idą oszczędne informacje o współrzędnych gracza, wektorach prędkości, identyfikacji używanego przezeń awatara, numeryczne oznaczenia gestów, a cała ogromna w stosunku do tego informacja potrzeba do wymalowania obrazu sceny jest już w komputerze klienta, a nadchodzące z sieci dane zaledwie ją uruchamiają. Moim zdaniem dziwne i ciekawe jest to, że taka absurdalna „fabularyzacja” układu numerów najwyraźniej jakoś koresponduje ze specyfiką „uzwojenia” mózgów większości ludzi i okazuje się efektywniejsza wbrew shannonowskiej ocenie informacyjnej entropii. Prawda jest taka, że – masz rację – architektura klient serwer wcale nie przełamuje ograniczeń twierdzenia Shannona, a tylko zawiera w sobie bardzo sprytny i wydajny mechanizm kompresji, który sprawia takie wrażenie, bo osiągany w ten sposób efekt jest zadziwiający. Coś sprawia, że niektóre informacje i przekazy lepiej, a inne gorzej pasują do specyfiki „oprogramowania klienta”. Powinniśmy tym spamować Marzenę, a nie Danusię – fakt.

        • Ciekawe, czy np ten kto lepiej zapamiętuje liczby ma większe zdolności do przedmiotów ścisłych. Ja jestem kontrprzykładem na tę tezę, ale jak mnie uśrednią, to może okazać się statystycznie prawdziwa.
          Danusia

          • Turing podobno natychmiast rozpoznawał, kiedy jakaś duża liczba była np. iloczynem dwóch dużych liczb pierwszych. Wśród matematyków jest wielu takich, którzy mają tego typu zdolności. Natomiast wśród znanych mi ludzi jest ileś osób ze zdolnością do pamiętania liczb i numerów – na ogół są kompletnymi tumanami w naukach ścisłych. Zawsze mnie ciekawiły te wszystkie ustalenia kognitywistów o „typach inteligencji” – nie wierzę w nie zupełnie. Ale podobnie nie wierzę, że trening w liczeniu na początku szkoły ma cokolwiek wspólnego z budowaniem podstaw matematyki.

      • Taka metoda zapamiętywania jest bardzo skuteczna. Zapamiętujemy zdanie, a każde słowo oznacza liczbę i mamy telefon zapamiętany.
        Danusia

        • Właśnie! Przynajmniej większość ludzi tak ma.

          Ale moje zaciekawienie (i to, rzeczywiście, jest bardziej do Marzeny pytanie niż temat na Twój blog) budzi: dlaczego ta metoda jest taka skuteczna?

          W shannonowskim sensie ona zmusza do zapamiętania większej ilości informacji, niż zapamiętanie samej liczby czy numeru telefonu. Tu muszą działać jakieś bardziej złożone mechanizmy pamięci, moja hipoteza ad hoc odwołuje się właśnie do przystosowań ewolucyjnych, które dawały większy priorytet zapamiętywaniu informacji o rzeczach, osobach, miejscach, etc. niż informacji liczbowej.

          Ale to naprawdę byłby bardzo ciekawy temat na badania z psychologii eksperymentalnej.

          „Ciekawe, czy np ten kto lepiej zapamiętuje liczby ma większe zdolności do przedmiotów ścisłych.”

          Przyłączam się do Ciebie i raczej widzę tu antykorelację. Liczby pamiętają księgowi, a nie uczeni…
          Ja mam ogromne kłopoty z zapamiętywaniem liczb, przynajmniej nie mających interpretacji fizykalnej, jak numery telefonów. Ale nawet te z trywialną interpretacją (nie mam pojęcia, jaki numer butów noszę — to trzeba sprawdzić w sklepie, patrząc na podeszwę tych, w których do sklepu przyszedłem) też mi nie wchodzą. Choć jest wiele liczb, które po prostu siedzą w pamięci i są oczywistością, choćbym nigdy z nich nie korzystał intensywnie, a od 20 lat w ogóle.
          W końcu to, że stała struktury subtelnej $\alpha$ wynosi prawie równo 1/137 każdy chyba wie ;)

          Ale, jak znam fizyków akademickich, to oni częściej niż „szary człowiek” tracą swoje karty zeżarte przez bankomat, bo zapomnieli PIN-u…

          • Wydaje mi się, że kognitywiści to zbadali i chyba wiadomo, że większa shannonowska entropia bardziej wiąże uwagę. Znam to co prawda z nietypowej strony, bo z amerykańskich badań percepcji jasnowidzów – z przeproszeniem rozsądnych dyskutantów. Hipoteza weryfikowana w badaniach była taka, że jeśli jasnowidzenie jest jakimś rodzajem zmysłowej percepcji, to łatwiejsze powinno być postrzeganie obiektów po shannonowsku większych. Niezależnie od egzotycznego tematu badał to facet szalenie zdyscyplinowany metodologicznie, więc się domyślam, że przy zmysłach o numerach niższych niż sześć i przez to mniej egzotycznych te rzeczy zbadano dobrze. To zresztą zrozumiałe – łatwiej zauważysz światło pulsujące niż stałe itd. Zapamiętujesz rzeczy wyraźne i nietypowe – oszczędność informacyjna wcale tu nie ułatwia zadania.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

*