Oś Świata/Wolność naszych dzieci

Kosmiczny odlot, czyli treść podstawy programowej kształcenia ogólnego

03.03
2015

Kosmiczny odlot jest tu postulatem, a nie diagnozą status quo – bo dla diagnozy za nic nie umiałbym dziś znaleźć cenzuralnie brzmiącej frazy. Poniżej m.in. „scenariusze lekcji” dla dzieci w różnym wieku. Cudzysłów bierze się stąd, że nauka zawsze zakłada intelektualną aktywność uczącego się, a ta – jeśli się rzeczywiście uruchomi – wykluczy każdy założony z góry scenariusz. Dzieje się tak dlatego, że aktywny umysł nie jest przewidywalny: gdyby był, nie różniłby się wiele od z góry zaprogramowanej maszyny i przynajmniej jedno z wielkich twierdzeń matematyki dobrze o tym świadczy, zupełnie niezależnie od wszelkich ustaleń, które na ten temat dawno temu poczyniła filozofia, a w czasach nowszych psychologia i ostatnio neurologia.

 

Propozycje nie przypominają więc „klasycznych scenariuszy” ani nawet konspektów, ponieważ zawierają ileś wątków „dygresyjnych”, co się w porządnym, trzymającym się tematu konspekcie znaleźć nie może. Kuratorium Oświaty nie zatwierdziłoby żadnej z takich „lekcji”. W rzeczywistości dygresji powinno być o wiele więcej – tu służą jedynie zasygnalizowaniu przykładowych kierunków, wzdłuż których można swobodnie poruszać się z dziećmi w rozmowie – bo rozmowa jest czymś zupełnie innym niż „lekcja”. W przykładach chodzi o możliwe uogólnienia, zależy mi jednak na tym, by one się nie brały z powietrza, albo z bezrefleksyjnie powtarzanych tez modnych w nowych nurtach pedagogiki, ale by wynikały z przedmiotowej treści tego, co być może chcielibyśmy, żeby dzieci umiały. No, właśnie – co to ma być takiego, co dzieci powinny umieć?

Pozostając w obszarze własnych, ograniczonych kompetencji, chciałbym się po raz kolejny zastanowić, czego właściwie, dlaczego, po co i w jaki sposób szkoła powinna uczyć w zakresie matematyki. Proszę przy tym jednak o uwagę zwłaszcza właśnie „nie-matematyków”, bo przecież to w ogromnej większości do nich adresowane są szkolne programy rachunków, bardzo niesłusznie zwanych matematyką. Co więc o matematyce powinien wiedzieć przyszły humanista lub np. piekarz?

Moja własna pierwsza intuicja idzie w związku z tym pod prąd – nie jest to arytmetyka, tabliczka mnożenia, procenty i „osadzone w życiowych kontekstach zadania z treścią”, choć one często uchodzą za fragment matematycznego wykształcenia, który jest w oczywisty sposób niezbędny każdemu i absolutnie podstawowy. Jest to jednak pod prąd nie tylko tradycyjnych ujęć szkolnych programów, ale także wszystkich nowych mód, które każą odchodzić od abstrakcji w stronę namacalnie zrozumiałych konkretów i lokować matematykę, jak zresztą każdą naukę, w życiowych kontekstach.

Z niezbędnością szkolnych rachunków nie dyskutuję, choć dałoby się. Pozwalam sobie zamiast tego zauważyć, że mówimy o rzeczach tak trywialnych, że w żaden sposób nie da się nimi uzasadnić 12 lat szkolnego przymusu. Do tego spostrzeżenia należy również dodać, że listy podstawowych rachunkowych kompetencji nie da się też w żaden niekontrowersyjny sposób rozszerzyć poza tabliczkę mnożenia i procenty – każdy inny element matematycznego wykształcenia da się podważyć jako całkowicie zbędny np. piekarzowi lub humaniście. Dodać należy w tym miejscu także i to, że skoro rachunki są rzeczywiście aż tak niezbędne, jak na ogół sądzimy, to da się założyć, że wiedzą o tym sami zainteresowani i o zdobycie odpowiednich umiejętności potrafią zadbać samodzielnie – tak jak skutecznie dbają np. o prawo jazdy, skoro ono jest im potrzebne: żaden wielki państwowy system (a oświata jest największym spośród państwowych systemów) nie jest tu do niczego potrzebny, a ustanawianie w tym celu ograniczającego wolność szkolnego przymusu jest z kolei nadużyciem Konstytucji i nieuzasadnioną niczym tyranią, nazywając rzecz po imieniu. Chodzi w końcu o 12 lat życia dzieci według rygorystycznego harmonogramu codziennych zajęć, rozpisanych w Ministerstwie tak szczegółowo, że każdy więzienny regulamin będzie przy tym wyglądał na szczyt beztroskiego niedbalstwa.

Zwykłym, podszytym ignorancją fałszem jest zaś przekonanie o podstawowym charakterze umiejętności rachunkowych – fałszem są więc twierdzenia, że bez nich nie da się rozwijać wiedzy o matematyce. Starożytni matematycy greccy niech będą tu dowodem: dwunastoletnia obowiązkowa szkoła w XXI wieku nie jest w stanie nawet zbliżyć się do ich dokonań sprzed ponad dwóch tysiącleci, choć równocześnie uczeń szkoły podstawowej pokonałby w pojedynku na obliczenia najtęższego z greckich matematyków.

Uważam więc, że zamiast narzędziowego opanowania rachunków (zamiast, a nie oprócz, bo rachunkowe treningi po prostu szkodzą, jeśli są wykonywane dla nich samych) szkoła powinna próbować pokazać uczniom matematykę m.in. jako sztukę myślenia. Chodzi nie tylko o logikę, ale jeśli zahaczamy o formalne rozumowania częste w matematyce, to niech pierwszym przykładem będzie tu matematyczna indukcja, którą z programu szkoły ostatnio wykreślono.

 

Podwójnie zakazana indukcja matematyczna

Jak czytamy w komentarzu podstawy programowej, indukcja

została usunięta całkowicie, również z zakresu rozszerzonego. Jest specyficznie trudna. Stosowanie jej stało się pewnym rytuałem, którego sens pojmowali nieliczni uczniowie.

Śmiem twierdzić, że specyficzna trudność, o której tu mowa, jest w rzeczywistości w zasięgu rozumienia na etapie wczesnoszkolnym, a warunkiem jest tu wyłącznie zdolność rozumienia nauczycieli – i to ona najwyraźniej szwankuje przede wszystkim.

Przykłady zilustrują to lepiej niż definicja samej indukcyjnej zasady. Przykłady będą trzy – o zróżnicowanym stopniu trudności problemu, a każdy z nich może się stać tematem jednej lub kilku lekcji, przy tym niektóre z nich dałoby się zaadresować do grupy dzieci w różnym wieku i na różnych poziomach zaawansowania. Zasada indukcji w każdym z przykładów demonstruje się wszakże jako coś równie prostego. Indukcja nie jest tu głównym tematem i celem proponowanych „lekcji” – jest raczej powracającym lejtmotywem i jednym z elementów szerszego spojrzenia na matematykę, w tym również szkolną, jako na szkołę myślenia. Niemniej gdyby indukcję za cel przyjąć, byłby on bardziej sensowny niż wszelkie bardziej bezpośrednie sformułowania tematów i celów lekcji matematyki. Tyle, że byłby to cel sprzeczny nie tylko z jawnie deklarowanymi celami szkoły, ale również z tym, co postulują jej reformatorzy w imię nowocześnie pojmowanej metodyki.

  

Liczby kwadratowe.

Przy okazji tych liczb – zabawa z klockami, żetonami, czy czymkolwiek w tym guście, nieco w specyfice metody Montessori, poświęcona liczbom trójkątnym, kwadratowym, czworościennym itd. jest zdecydowanie bardziej płodna niż wszystkie towarzyszące szkolnym elementarzom karty pracy razem wzięte – można ją ciągnąć aż po intuicje dotyczące przestrzeni cztero- i więcej-wymiarowej i choć to jest osobny temat, to do ćwiczeń z elementarza jeszcze wrócimy, skoro poniższe szkice tematów lekcji mają być tylko przykładem spojrzeń zdecydowanie ogólniejszych.

Weźmy więc takie twierdzenie. Dla dowolnego N,

N2 = 1 + 3 +…+ 2N – 1.

To oczywiście zbyt trudne dla maluchów z nauczania początkowego, ale ów „wzór”, budzący prawdopodobnie lęk również wśród dorosłych, oznacza to po prostu, że kwadrat dowolnej liczby N jest sumą pierwszych N kolejnych liczb nieparzystych. Np. 9, kwadrat liczby 3, jest sumą trzech liczb nieparzystych: 1, 3 i 5; a z kolei 16 jest sumą czterech kolejnych: 1, 3, 5 i 7. O czym sam nie miałem pojęcia, dopóki nie zacząłem bawić się klockami z dziećmi. Piękny, kompletnie bezużyteczny fakt, prawda?

Pytamy więc dzieci, ile klocków potrzeba do zbudowania kwadratowej ściany o wysokości N. Maluchom oszczędzamy pojęcia N2 – mówimy po prostu o ilości klocków potrzebnych do zbudowania ściany, choć nie zaszkodzi, jeśli powiemy, że to jest N rządków po N klocków w każdym, czyli N x N, co się nazywa mnożeniem, a w tym szczególnym przypadku – kwadratem. Ważne, żebyśmy ich potem, broń Boże, nie próbowali odpytywać, co to znaczy kwadrat. Dla N = 1 potrzeba oczywiście jednego klocka. Oczywiście N2 = 1 i nie ma tu czego dodawać, bo pierwsza liczba nieparzysta, to po prostu 1. Trudno tu o pewność, czy rzeczywiście pojedynczy klocek spełnia sprawdzaną zasadę, skoro nawet trudno sobie go wyobrazić jako kwadrat, więc na wszelki wypadek spójrzmy na kolejną sytuację (choć z logicznego punktu widzenia jest to już zbytek ostrożności). Dla N = 2 i kwadratowej ściany tej wysokości klocki oczywiście muszą już być 4, przy czym rzeczywiście dwie pierwsze liczby nieparzyste to 1 i 3, a ich suma wynosi 4. Teraz już widać, że formuła się zgadza. Czy jednak na pewno tak będzie już zawsze? Ano, sprawdźmy, ile klocków trzeba dodać, żeby powiększyć o jedno piętro już istniejącą ścianę – niech jej wysokość będzie N. Pokazuje to rysunek: dwa razy po tyle, ile jest w rządku istniejącej ściany, i jeszcze jeden klocek.  Zatem 2N + 1.

Przy okazji zresztą dzieci widzą, co widzimy i my:

(N + 1)2 [ściana powiększana o 1] = N2 [stara ściana] +2N + 1

a to jest „wzór skróconego mnożenia”, który w szkole dzieci dostają do wkucia na dalszych etapach kształcenia: mają go zapamiętać i stosować. Tu jest on po prostu widoczny – i to zanim dzieci usłyszą, co to w ogóle znaczy N2.  Widać też – to dygresja – dlaczego (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, albo z kolei, że (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, jeśli byśmy się chcieli tak bawić. Widać również, że tę samą zabawę w klocki i liczby kwadratowe da się proponować zarówno maluchom, jak i starszym dzieciom, dla których elementy formalnego zapisu nie będą już niedostępne, a którym „rozdzielność mnożenia względem dodawania” sprawia często kłopot – zrozumiały, skoro ktoś nierozważnie wpadł na pomysł, żeby to dzieciom podać z użyciem trudno zrozumiałej nazwy zamiast po prostu pokazać.

Wracając wszakże do indukcji. Wiemy więc, że, aby dobudować następne piętro o wysokości równej N + 1 (bo N już mamy), potrzebujemy dodać 2N + 1 klocków, czyli dodać kolejną liczbę nieparzystą. Ponieważ ilość klocków potrzebnych do zbudowania kwadratu zgadza się na początku (dla ściany o wysokości 1 oraz dla wysokości 2) i jest sumą odpowiedniej ilości kolejnych liczb nieparzystych i ponieważ widzimy, że dla dobudowania kolejnego piętra potrzebujemy zawsze następnej, nieparzystej liczby klocków, to wiemy, że zawsze do zbudowania kwadratowej ściany o wysokości N potrzebną liczbą klocków będzie suma N kolejnych liczb nieparzystych, a jeśli potrzebny jest nam formalny zapis, to proszę:

1 + 3 + … + 2N – 1

(przy czym do wyjaśnienia pozostaje, dlaczego w tej sytuacji zmienia się znak przed ostatnią jedynką). Takie właśnie rozumowanie jest indukcją.

Oczywiście to niezupełnie indukcja byłaby celem takiej „lekcji”. Ale też nie „wzór” N2 = 1 + 3 +…+ 2N – 1, bo on – jak wiemy – nie jest potrzebny do niczego. Ani żaden inny „wzór skróconego mnożenia”, choć one uchodzą za potrzebne niezbędnie, przy czym jest dla mnie zupełnie niejasne, do czego dokładnie mianowicie. Chodzi tu raczej o zabawę, w której odkrywamy z dziećmi np. to, że każda liczba kwadratowa jest sumą dwóch liczb trójkątnych: odpowiedniej i poprzedniej. Że podobne reguły odnajdujemy dla liczb czworościennych, czyli takich, które określają ilość klocków potrzebnych do ułożenia pryzmy o kształcenie ostrosłupa. I że jeśli je rozszerzymy, wylądujemy z klockami ułożonymi w więcej niż w trzech wymiarach… co już jest trochę dziwne i przez to ciekawe. I że modelem takiej bryły mogą być wielokąty ułożone z tych samych klocków. I tak – dowolnie daleko w gąszcz komplikacji, nieznanych wymiarów przestrzeni i innych dziwactw w tym guście.

 

Suma kątów wielokąta

Być może prościej, a na pewno inaczej, demonstruje się indukcja przy sumie kątów wielokąta. Dla dowolnego N-kąta ta suma to

(N – 2) x 180o,

czyli tyle, co N – 2 trójkątów. No, dla zwykłego trójkąta będzie to (3 – 2) x 180o, czyli po prostu 180 o. Dla czworokąta powinno to być (4 – 2) x 180o, czyli 360o. Wszystko się zgadza, ale trzeba by pokazać, że naprawdę zawsze musi tak być. I, właściwie, dlaczego.

Pokażmy zatem, że fakty zgadzają się dla trójkąta, sprawdźmy też jak to jest z czworokątem, by zauważyć, co się dzieje, kiedy ilość wierzchołków się zwiększa, następnie zastanówmy się nad ogólniejszą „sytuacją indukcyjną” – co się dzieje, kiedy do dowolnego N-kąta dodajemy kolejny wierzchołek. Wszystko byłoby zdecydowanie prostsze i łatwiej widoczne niż liczenie klocków, gdyby maluchy (a o nich mówimy) wiedziały, co to takiego 180 o, jak się dodaje kąty itd. Warto spróbować im to pokazać poglądowo, co nie jest trudne mentalnie, natomiast wymaga mnóstwa np., rysowania, wycinania i paplaniny, przy której trzeba bardzo uważać, żeby nie zanudzić maluchów i nie zgubić ich uwagi. Ładne geometryczne mozaiki robione techniką Eschera, pozwalają nieco urozmaicić zajęcia, a różne rzeczy typu równość kątów naprzemianległych widać w nich natychmiast. Escher i jego mozaiki mogą być tematem lekcji i powodem, dla którego dzieci zechcą w ogóle pomyśleć o geometrii. Powyżej widać trójkąt, który „powielony” przez ustawione na jego bokach lustra kalejdoskopu utworzy znany escherowski wzór.

Bardziej bezpośrednio z tematem wiążą się kolejne mozaiki Eschera, jak ta z jaszczurkami, podobnie jak wiele innych układanek bazująca na wielokątach foremnych, z których da się uzyskać pełne pokrycie płaszczyzny. Prostszy przykład lepiej pokazuje, na czym polega pomysł. Ilustracje pochodzą ze strony Escher in the classroom, na którą warto zajrzeć w poszukiwaniu inspiracji do lekcji zarówno w szkole, jak i w przedszkolu.

Wracając do sumy kątów trójkąta. Jej znaczenie i związek z mozaikami widać w właśnie w mozaice z trójkątów.

Dowód faktu, że kąty trójkąta dopełniają się do prostej zawiera się w rysunku poniżej. Można poprosić dzieci, żeby w różnych trójkątach pokolorowały rogi, wycięły je nożyczkami i złożyły w odpowiedni sposób – niech zauważą, że przy bardzo różnych kształtach trójkątów wierzchołki zawsze składają się tak, że powstaje prosta krawędź. Na mozaikach widać to nawet lepiej. Sumy kątów nie trzeba wyrażać w wartości liczbowej – można np. powiedzieć, że kąty dopełniają się do „półkola” albo do prostej. Dowód na to, że kąty trójkąta dodają się zawsze do prostej zawiera się w rysunku obok, na którym trzeba zwrócić uwagę dzieci na równość kątów naprzemianległych.

W zasadzie każda mozaika zawiera w sobie jakieś twierdzenie geometrii. Ten popularny wzór układania kafli zawiera np. dowód twierdzenia Pitagorasa, co pokazują pomarańczowe linie. To stary, arabski wynalazek, co może być powodem do dygresji w zakresie historii, historii sztuki, filozofii, czy religioznawstwa.

Wracając do kątów wielokąta: czworokąt wymaga podzielenia na dwa trójkąty, przy czym chodzi o taki podział, żeby każdy wierzchołek każdego powstałego w ten sposób trójkąta leżał na wierzchołku czworokąta. Wypukły czworokąt da się podzielić na dwa sposoby, jedną albo drugą linią łącząca przeciwległe wierzchołki. Oczywiście obie linie łącznie podzielą nam czworokąt na w sumie cztery trójkątne ćwiartki, jednak wtedy jeden wspólny wierzchołek wszystkich czterech trójkątów na rysunku oznaczony jako O) wypadnie poza wierzchołkami czworokąta – gdzieś w jego wnętrzu – i te wierzchołki trójkątów dopełnią nam się do nadmiarowego koła, co też tworzy dowód, ale taki podział odrzućmy. Widać z tego, że czworokąt ma w sobie – również jeśli o kąty chodzi – dwa trójkąty.

Sprawdźmy teraz, co się stanie, kiedy do dowolnego N-kąta dodamy wierzchołek (punkt E na kolejnym rysunku). Tu właśnie indukcja okazuje się skuteczna i przy tym niezwykle „wydajna”. Pięciokąt można podzielić na trójkąty na trzy sposoby prawidłowe z naszego punktu widzenia, czyli tak, że wierzchołki trójkątów i pięciokąta będą się pokrywały. Pokazywanie prawidłowości tej konstrukcji dla dowolnego wielokąta może jednak być już nużące i niełatwe przy opisaniu i wykluczeniu konstrukcji niepoprawnych, które dałyby nam nieprawidłowy wynik. Indukcja pozwala nam machnąć na to ręką. Nie wnikamy, ile trójkątów jest w N-kącie i jaka jest w związku z tym suma jego kątów. Widzimy za to – i zupełnie nam to wystarcza — że dodatnie kolejnego wierzchołka (E) oznacza dodanie jednego nowego trójkąta do starej konstrukcji – i to w ten sposób, że suma kątów musi wzrosnąć właśnie o trójkąt. Indukcyjny dowód polega tu wyłącznie na dodawaniu trójkąta. Niczego nie wiemy o tym z ilu trójkątów składa się „stary” wielokąt. Jeśli ta liczba spełnia formułę, to również „nowy” wielokąt będzie ją spełniał. Logika pozwala nam „wyindukować” formułę z początkowych faktów: z tego, że trójkąt ma miarę 180, że czworokąt powstaje przez dołożenie kolejnego trójkąta, pięciokąt – jeszcze kolejnego itd. Bez indukcji dowód dla dowolnego wielokąta mocno się komplikuje i obciąża wyobraźnię nieskończonym mnóstwem możliwości podziału na trójkąty.

Jeśli na tej akurat „lekcji” mówimy dzieciom o kątach wielokątów, a nie o indukcji jako takiej, to warto spróbować alternatywnego rozumowania, wykorzystując przy tym okazję, by sprawdzić do jakiego stopnia dzieci potrafią zaufać logice. Zwłaszcza, że – jak być może zauważyli co uważniejsi z Czytelników – powyższe rozumowania upraszczająco zakładają, że wielokąty są wypukłe, a wklęsłość oznaczałaby tu problemy. W indukcyjnym kroku w szczególności ów dodatkowy wierzchołek (E) da się przecież wyznaczyć wewnątrz „starego” wielokąta, a nie tylko na zewnątrz, jak to zrobiliśmy – wtedy zaś żaden nowy trójkąt nie przybywa, tylko dzieją się rzeczy bardziej skomplikowane: trzeba mianowicie dowieść, że dodatkowy wierzchołek wypada we wnętrzu jednego z trójkątów, który w związku z tym musi się rozpaść na dwa nowe.

Zacznijmy więc na nowo od trójkąta i spróbujmy wmówić dzieciom, że jego suma kątów (podobnie zresztą jak suma dla dowolnego wielokąta) wynosi 360, a nie żadne 180o. Wyobraźmy sobie mianowicie chodzenie po bokach trójkąta. Powiedzmy, że zaczynamy od podstawy, zwróceni w stronę punktu A (rysunek), do którego zmierzamy. W punkcie A, skręcamy o kąt α i idziemy w stronę punktu B. Osiągnąwszy go, skręcamy o kąt β, idziemy do C, skręcamy o kąt γ – stoimy teraz znów przodem do A, czyli w ciągu całego spaceru zawróciliśmy  sumie o 360o, a nie żadne 180. Co gorsza, to samo zdarzy się nam w trakcie spaceru po każdym wielokącie – zawsze zatoczymy kółko, z czego wynikałoby, że 360o jest właściwą miarą sumy kątów dowolnego wielokąta. Co jest nie tak?

Oczywiście szachrajstwo dotyczy kątów, o które zawracamy. W punkcie A nie skręciliśmy o α, tylko o 180o – α i tak samo jest z wszystkimi zakrętami na wierzchołkach. W sumie więc, chodząc dookoła trójkąta wykonujemy trzy skręty: 180o – α + 180o – β + 180o – γ, a przy tym – ponieważ zawróciliśmy i stoimy teraz w tym samym miejscu, co na początku i tak samo jesteśmy zwróceni, to da się powiedzieć bez wątpliwości, że 180o – α + 180o – β + 180o – γ = 360o. Maluchy z nauczania początkowego w tym miejscu nam odpadną, bo co prawda ten zapis i jego konieczne przekształcenie da się im wyjaśnić, ale raczej zanudzilibyśmy ich przy tym śmiertelnie. Wynika stąd w każdym razie bez trudności nieprzekraczalnych dla np. czwartoklasisty, że 3 x 180o – (α + β + γ) = 360o, co oznacza, że α + β + γ = 180o.

Dla dowolnego N-kąta sytuacja będzie identyczna i zawsze dostaniemy równanie N x 180o – (α1 + α2 + α3 + … + + αN ) = 360o, co oznacza, że suma kątów będzie wynosić tyle, co N – 2 trójkąty. Przy tym ten sposób rozumowania (swoją drogą nigdzie go nie spotkałem i gdyby nie był tak oczywisty, to uznałbym go za własny pomysł) pozwala z łatwością poradzić sobie z wielokątami wklęsłymi. W tych przypadkach po prostu kąt 180o – αi ma ujemną miarę i to jest jedyna komplikacja, na jaką natrafiamy.

No, skoro już wdepnęliśmy nie tylko w zakazaną w szkole indukcję, ale również znajdujemy się w dość abstrakcyjnych obszarach bardzo nielubianych przez współczesną myśl pedagogiczną, to warto z tej okazji zapytać, co może dokładnie oznaczać skądinąd zupełnie intuicyjnie jasne pojęcie wklęsłości. Z dwóch widocznych tu wielokątów (a może chodzić o dowolne figury, powierzchnie i bryły w dowolnej ilości wymiarów), jeden jest wklęsły w widoczny sposób, a drugi wypukły. Problem w tym, że o wypukłości chcemy móc orzekać inaczej niż tylko „na oko”. Wypukłość objawia się w ten sposób, że jeśli wybierzemy dowolne dwa punkty we wnętrzu lub na brzegu obiektu, to cały łączący je odcinek również zawrze się w obiekcie. Tego samego nie da się zaś powiedzieć o obiekcie wklęsłym. No, teraz możemy się zastanowić, jak definicyjnie odróżnić dziurę od wklęsłości, próbować sobie wyobrazić obiekty doskonale „gąbczaste” (tj. takie, w których w każdym, dowolnie małym obszarze zawsze znajdą się jakieś dziury) i rozważywszy, czym może być miara (np. powierzchnia), wyobrazić sobie obiekty rozciągające się na wielkich obszarach, które jednak mają zerową powierzchnię i różne inne, kompletnie bezużyteczne dziwadła.

Suma kątów trójkąta, równość kątów naprzemianległych i podobne rzeczy są naprawdę podstawowe i rzeczywiście trudno byłoby bez nich wyobrażać sobie zabawę w geometrię, zwłaszcza tę klasyczną, Euklidesa. To jednak samo w sobie nie znaczy wcale, że suma kątów trójkąta jest naprawdę dobrym celem lekcji w powszechnej szkole ogólnokształcącej, bo musielibyśmy jeszcze znaleźć powód, dla którego warto nie tylko zawracać głowę Euklidesem przyszłemu pisarzowi i piekarzowi, ale ich jeszcze zmuszać, żeby go znali. Indukcja, czyli pewien pomysł na rozumowanie nadaje się jako cel zdecydowanie lepiej niż to, żeby każdy w Polsce wiedział, jaka jest suma kątów pięciokąta. Euklides wart jest poznania jako trening w myśleniu i trudno o lepszy powód. Uświadomiwszy to sobie, łatwo jednak dojdziemy do przekonania, że o ile warto zabiegać o kontakt uczniów z Euklidesowym myśleniem (i innym oczywiście również), o tyle żaden z faktów, pokazanych i dowiedzionych w Elementach (i gdzie indziej) nie jest niezbędnym nomen omen elementem wykształcenia. Warto poznać i zrozumieć np. twierdzenie Pitagorasa, ale można je sobie darować. Warto poznać Archimedesa wyprowadzenia objętości i powierzchni kuli, ale równie dobrze można się zająć czymś zupełnie innym. Zasada indukcji – też skądinąd niekonieczna – okaże się z tego punktu widzenia zdecydowanie bardziej warta uwagi niż którekolwiek z „konkretnych” twierdzeń matematyki.

 

Podzielność przez 9, czytanie w myślach i tabliczka mnożenia.

Wróćmy więc do indukcji i przejdźmy do trzeciego z naszych przykładów – prawdopodobnie najbardziej klasycznego jeśli chodzi o zastosowanie zasady indukcji, a przy tym matematycznie najbardziej złożonego. Jedna z moich ulubionych zagadek nie jest może najciekawszą z tych, które znam, ale należy do najbardziej edukacyjnie płodnych. To zabawa w „zgadywanie myśli”. Należy poprosić „badanego” o pomyślenie dowolnej liczby. Następnie „badany” musi wykonać szereg operacji arytmetycznych, których celem jest „zgubienie tropu” i metody konstrukcji sztuczki. Ma więc np. dodać 7 do pomyślanej liczby, wynik pomnożyć przez trzy, odjąć 18 i wynik znów pomnożyć przez trzy. Jeśli „badany” pomyślał liczbę N, otrzyma teraz w wyniku tych operacji liczbę 9N + 9, czyli 9(N + 1), a zatem coś podzielnego przez 9. Cała procedura z dodawaniem, mnożeniem i odejmowaniem ma oczywiście za jedyne zadanie utrudnić zauważenie tego faktu. Jedną z funkcji zagadki, która ujawnia się zaraz na starcie, są więc „wyrażenia algebraiczne”, którymi szkoła katuje dzieci przez chyba większość czasu poświęcanego matematyce. Tu dziecko musi dostrzec, że ((N + 7) x 3 – 18) x 3 = 9N + 9 = 9(N + 1), co jest typowym i dla większości z nas przerażająco skomplikowanym przekształceniem algebraicznym. Dzieci chętnie zadają sobie takie zagadki nawzajem, a wtedy „dla zmylenia przeciwnika” układają inaczej skonstruowane wyrażenia, co jest zdecydowanie lepszym ćwiczeniem umysłu niż rozwiązywanie ćwiczeń „zadanych”.

Sama zagadka natomiast – jeszcze nie wiemy, jaką to myśl pozwala ona odgadnąć. Otóż wiedząc, że „badany” ma teraz do czynienia z liczbą podzielną przez 9, prosimy go o zsumowanie cyfr wyniku. Pytamy, czy suma jest liczbą jednocyfrową, a jeśli nie jest, prosimy o zsumowanie cyfr ponownie. W końcu „badany” kiwa głową – tak, wynik jest jednocyfrowy i wtedy wiemy, że to jest na pewno 9, co triumfalnie ogłaszamy.

Sztuczka działa znakomicie: „badany” jest w sporym szoku i choć podejrzewa, że 9 pojawi się zawsze, nie ma pojęcia, jakim cudem da się przewidzieć wynik kompletnie chaotycznych obliczeń, w których, jak mu się wydaje, nie ma żadnego sensu. Sumowanie cyfr w przekonaniu większości już całkowicie wyklucza przewidywalność. Dzieje się tak dlatego, że liczb i cyfr uczymy się jak nazw, słów i liter – zgadywanie sumy cyfr jawi się nam w tej sytuacji jako zajęcie podobne do numerologicznych odczytań dokonywanych na podstawie imion lub dat urodzin. Posługujemy się systemem dziesiętnym nie widząc jego struktury – i w ten sam sposób uczymy liczenia dzieci: uczymy ich nazw liczb i tym nazwom nie nadajemy sensu.

Sztuczka zaś polega właśnie na tym, że suma cyfr każdej liczby podzielnej przez 9 jest również podzielna przez 9, więc jej suma cyfr także – aż do jednocyfrowego wyniku, który będzie po prostu dziewiątką. Zawsze. Problem polega teraz na zrozumieniu, dlaczego tak się dzieje. Dzieci bywają na ogół wystarczająco podekscytowane „odczytywaniem myśli”, by wytrzymać wysiłek zrozumienia, który nazwom przywraca sens.

Indukcyjny dowód jest natomiast w tym przypadku tak „wydajny”, że w zasadzie da się go przeprowadzić natychmiast, nie wchodząc w (umiarkowaną, ale i tak dość elegancką) złożoność problemu. Suma cyfr liczby 9 wynosi 9 i oczywiście jest podzielna przez 9. Znów z nadmiaru ostrożności zauważamy, że 9 jest również sumą cyfr liczby 18 – kolejnej wielokrotności 9. Indukcja polega teraz na sprawdzeniu, czy jeśli liczba N ma sumę cyfr podzielną przez 9, to suma cyfr liczby N + 9 też będzie miała tę właściwość.

By zobaczyć, że tak się dzieje zawsze, wystarczy przedstawić sobie w umyśle tabelę liczb o szerokości 10 (od 0 do 9) i o nieskończonej długości – każdy wiersz będzie zawierał liczby o 10 większe od liczb z wiersza poprzedniego, a każda kolumna – liczby o 1 większe od poprzedniej. Jeszcze wygodniej byłoby, gdyby tabelę w myślach zawinąć, sklejając jej brzegi ( zera z dziewiątkami) i uzyskując nieskończony cylinder liczb. Wtedy dodawanie 9 będzie zawsze polegało na przesunięciu się o wiersz w dół i o jedną pozycję w lewo, ponieważ dodać 9 znaczy tyle, co dodać 10 i odjąć 1. Wyjątkiem będą sytuacje, kiedy 9 dodajemy do liczby z pierwszej kolumny, a więc takiej, która ma 0 na końcu zapisu cyfrowego – wtedy jednak jest natychmiast jasne, że suma cyfr w wyniku takiej operacji po prostu zwiększy się o 9. Jeśli więc liczba N miała sumę cyfr podzielną przez 9, to i N + 9 tę właściwość oczywiście zachowa. W każdym innym przypadku ostatnia cyfra zapisu zmniejszy się przy dodawaniu o 1, ale równocześnie o to samo 1 wzrośnie liczba dziesiątek. Jeśli cyfra na miejscu dziesiątek liczby N jest mniejsza od 9, jesteśmy pewni, że suma cyfr nie ulegnie zmianie. Jeśli jest równa 9, druga od końca cyfra zamieni się w 0 (zatem suma cyfr spadnie o 9), a jedynka zostanie dodana do setek, nadal rekompensując spadek wartości ostatniej cyfry zapisu. Jeśli i setki „są zajęte” (na ich miejscu znajdzie się cyfra 9), to od sumy cyfr zostanie odjęta kolejna dziewiątka, a o 1 wzrośnie cyfra tysięcy lub którakolwiek następna, jeśli natrafimy na kolejne dziewiątki w zapisie.

Widzimy zatem, że dodawanie dziewiątek nie zmienia podzielności przez 9 sumy cyfr. Skoro pierwsze wielokrotności 9 mają sumę cyfr podzielną przez 9, to i wszystkie następne muszą. Kolejny przykład indukcji. Jeśli coś jest skomplikowanego we wszystkich powyższych indukcyjnych rozważaniach, to przecież nie sama indukcja.

Dzieci chcą jednak pokazywać sztuczkę wszystkim wkoło, a sztuczka z dziewiątką szybko się zużywa, skoro zawsze wychodzi 9. Można ją przeprojektować tak, żeby wyszło cokolwiek chcemy i żeby w dodatku „badany” nie zorientował się nawet, że w ogóle ma do czynienia z matematyką i liczbami. Da się tę sztuczkę przeprowadzić z użyciem klocków, więc rozumiejący rzecz czwartoklasista może bawić się nią z maluchami. W tym celu jednak czwartoklasista powinien nieco dokładniej zrozumieć, czym są cyfry i o co chodzi z podzielnością sumy cyfr w tym przypadku. Porzućmy więc niechcianą w szkole zasadę indukcji i zajmijmy się „magią”, której szkoła nie chce nawet bardziej.

Innym sposobem zrozumienia tej samej sztuczki jest „pisemne odejmowanie”. Każda liczba podzielna przez 9 daje się zapisać w postaci 9N, gdzie N jest wynikiem dzielenia tej liczby przez 9. 9N oczywiście równa się 10N – N. Wykonajmy to odejmowanie i zróbmy to „pisemnie”. Żeby było już absurdalnie trudno, załóżmy, że liczbę N zapisujemy przy pomocy k cyfr: od n1 (dla jedności) do nk. Ten zapis jest niezgodny ze zwyczajową konwencją wymagającą indeksowania od 0, co ma spory sens również w tym przypadku, ale dzieci, które tego typu zapis widzą po raz pierwszy w życiu z jakichś powodów nie lubią zer w indeksie. Nie ma też sensu tłumaczyć im, że liczba zapisana cyframi

nknk-1…n2n1n0

jest równa

n0100 + n1101 + n2102 + … + nk-110k-1nk10k.

Zrozumieją to również bez tego zapisu w trakcie pisemnego odejmowania nieznanych liczb wyrażonych nieznanymi cyframi.

Jeśli liczbę N zapisujemy jako

nknk-1…n3n2n1,

to 10N będzie miała o jedną cyfrę więcej i będzie to zero, co zapiszemy oczywiście jako

nknk-1…n3n2n10.

Możemy teraz śmiało odejmować, nie przejmując się kłopotliwym faktem, że nie znamy ani liczby N, ani tym bardziej cyfr jej dziesiętnego zapisu, a wszystko, co wiemy z pewnością, to właśnie zero na końcu:

nk                               nk-1          …        n3                               n2                               n1                               0

nk             nk-1                            …        n3                               n2                               n1

W najprostszym przypadku „pod kreską” zapiszemy:

nk                               nk-1-nk                     …                    n2-n3                        n1-1-n2             10-n1

 

Gdzie oczywiście na poszczególnych miejscach pojawią się jednocyfrowe wyniki zapisanych tu odejmowań. Zapis tego rodzaju wygląda na trudny do pojęcia i rzeczywiście potrafi sprawić dzieciom kłopot. Kłopot ten jednak znika od razu, kiedy powiemy dziecku, żeby się nie przejmowało, tylko zwyczajnie zapisało, co dokładnie robi, kiedy odejmuje pisemnie. Powyższe nie jest bowiem żadnym tajemniczym „wzorem”, a jedynie prostym i dosłownym zapisem czynności algorytmu odejmowania: przepisem na odejmowanie pisemne. Dwie ostatnie kolumny dotyczą stosowanego w algorytmie mechanizmu „pożyczania dziesiątek” z następnej pozycji: zero zostaje zastąpione przez 10, w związku z tym wartość n1, od której w następnej kolumnie odejmujemy n2, należy przed tym odejmowaniem pomniejszyć o 1.

Powyższe wyniki należy teraz zsumować. Nieznana wartość k, powodująca konieczność użycia wielokropka w zapisie, powoduje również drobny kłopot z dostrzeżeniem prawidłowości widocznej na szczęście dobrze na trzech ostatnich miejscach. Liczbę n1 odejmujemy na ostatnim miejscu, ale na przedostatnim występuje ona ze znakiem +. W sumowaniu n1 się wobec tego zniesie. Na miejscu drugim odejmujemy n2, która jednak ze znakiem + występuje na miejscu trzecim, zatem również n2 się zniesie. Z kolei na trzecim miejscu znajdujemy odejmowanie n3 – tej liczby nie widzimy ze znakiem + tylko dlatego, że kolejne miejsca zapisu zastąpił wielokropek. Wszystkie nieznane cyfry zapisu dziesiętnego liczby N znikną uproszczone w ten sam sposób przy sumowaniu cyfr. Zostanie tylko 10, od której odejmujemy n1 na miejscu pierwszym od prawej oraz -1 na miejscu dziesiątek, bo aby odjąć od zera, musieliśmy „pożyczyć” dziesiątkę z sąsiedniej pozycji. Suma cyfr wynosi więc dokładnie 9.

Ale – jak zauważyliśmy – to jest przypadek najprostszy. Poza zerem wszystkie pozostałe cyfry liczby „na górze” były większe od tych znajdujących się poniżej, dlatego niczego więcej nie należało „pożyczać”. Zobaczmy w takim razie: każde „pożyczanie” oznacza dodanie kolejnej dziewiątki do sumy cyfr. Weźmy „okolicę” cyfry nj izałóżmy, że nj jest mniejsze od nj+1. Wtedy:

nj+1                            nj                                nj-1                             nj-2

nj+2                            nj+1                            nj                                nj-1

—————————————————————

nj+1-1-nj+2            10+nj-nj+1        nj-1-nj               nj-2-nj-1

Znów wszystkie nieznane cyfry upraszczają się przy sumowaniu, a po uproszeniu pozostaje tylko dziesiątka i jedynka, sumujące się z kolei do 9. To jest już druga dziewiątka w sumie cyfr, bo pierwszą, jak widzieliśmy, musimy mieć koniecznie na miejscach jedności i dziesiątek.

No, to jest moment, kiedy dzieci mówią „kosmos”, albo „wow” zależnie od językowych nawyków: oto policzyliśmy sumę cyfr kompletnie nieznanej liczby!

Wszystko to zrobiliśmy jednak po to, by uświadomić sobie, że prawidłowość z podzielnością przez 9 jest jeszcze ogólniejsza niż to widzieliśmy tutaj. Odejmowanie tego rodzaju da się przeprowadzić również w niedziesiętnych systemach. Powiedzmy, że posługujemy się systemem siódemkowym. Co to znaczy? Ano to, że znamy tylko cyfry od 0 do 6 i przy ich pomocy zapisujemy wszystkie liczby. Nie używamy cyfr 7, 8 i 9, ani żadnych innych.

Licząc kolejno i zapisując, będziemy mieli:

  • 1,
  • 2,
  • 3,
  • 4,
  • 5,
  • 6,
  • 10, gdzie 10 oznacza jedną siódemkę i zero jedności. Liczbę osiem zapiszemy więc jako 11. Itd. 6 + 6 w tym zapisie nie wyniesie 12, ale 15… Bo dwanaście to siedem (zapisywane teraz jako 10 z braku cyfry 7) i jeszcze 5.

Odliczając zaś kolejnymi siódemkami (zamiast dziesiątek):

  • 10 (które oznacza teraz jedną siódemkę),
  • 20 (oznaczające dwie siódemki, a więc czternaście w systemie dziesiętnym – liczbę piętnaście zapiszemy jako 21, szesnaście jako 22 itd.),
  • 30 (trzy siódemki),
  • 40,
  • 50,
  • 60,
  • 100 (siedem siódemek, a więc czterdzieści dziewięć w systemie dziesiętnym).
  • Itd.

W takim systemie suma cyfr liczby podzielnej przez 6, będzie zawsze podzielna przez 6. Ogólnie suma cyfr liczby podzielnej przez R zapisanej w systemie o podstawie R + 1 jest zawsze podzielna przez R. Dowód wygląda dokładnie tak samo, jak ten powyżej, a jedyną różnicą jest, że zamiast 10 wpisujemy używaną w systemie zapisu podstawę. Jeśli podstawę oznaczymy jako Q i w związku z tym Q wpiszemy zamiast 10 w powyższych słupkach pisemnych odejmowań, wynikiem będzie zawsze Q – 1 lub wielokrotność tej liczby.

Wszystko to wyjaśniliśmy czwartoklasiście po to, by mógł sobie teraz konstruować następne sztuczki, otrzymując taki wynik, jakiego zechce, a nie tylko 9. Np. taka sztuczka:

  1. Weź garść żetonów i ukryj je, żeby były niewidoczne.
  2. W ukryciu ułóż je w rządek.
  3. Obok każdego z żetonów w rządku połóż 5 kolejnych – tak, żeby powstało 6 takich rządków (mnożenie przez 6 – darujemy sobie dodawania i odejmowania, zakładając, że i tak nikt nie zauważy, że chodzi o wielokrotność szóstki).
  4. Weź teraz kilka z najmniejszych woreczków do pakowania żetonów. Pakuj kolejno po 7 żetonów do każdego woreczka. Pozostałe żetony, jeśli zostaną jakieś i będzie ich mniej niż 7 (bo 7 należałoby zapakować), pozostaw luzem.
  5. Jeśli użyłeś więcej niż 6 woreczków, weź teraz trochę worków o większym rozmiarze. Pakuj do nich kolejno mniejsze woreczki – po 7 do każdego. Pozostałe woreczki pozostaw na stole.
  6. Jeśli jest taka potrzeba (użyłeś 7 lub więcej woreczków większego rozmiaru), użyj jeszcze większych worków, postępując tak samo.
  7. Zapakowawszy wszystko, poukładaj woreczki równo na stole razem z pojedynczymi żetonami. Zdejmij ze stołu woreczki, a na miejsce każdego z nich połóż na stole jeden żeton.
  8. Z ustawionymi w ten sposób żetonami zrób jeszcze raz to samo – przejdź do kroku 4. Postępuj tak aż do momentu, w którym woreczki nie będą ci potrzebne, a na stole będą leżały pojedyncze żetony.
  9. Na twoim stole leży teraz 6 żetonów.

Jeśli zabawa tego rodzaju potrwa odpowiednio długo, maluchy zobaczą, że w kroku 8. na stole może pozostać najwyżej 6 żetonów, bo każda większa liczba wymagałaby pakowania. I że zawsze faktycznie zostaje 6, a nigdy mniej. Jeśli zmieni się instrukcja pakowania i teraz do woreczków trafia np. po pięć żetonów, to w ostatnim kroku maksymalna możliwa liczba żetonów na stole wyniesie 4 i znów okaże się, że taki właśnie będzie wynik. W końcu dzieci zauważą być może także to, że 4 jest liczbą mnożenia na samym początku zgadywanki. W ten sposób sztuczka z podzielnością przez 9 jest adresowana również do najmłodszych uczniów. Ale to wymaga dalszego komentarza.

 

Rachunki á la Montessori  

Powyższą zabawę z udziałem maluchów, które dopiero uczą się liczyć, i dzieci odrobinę starszych, które poznają głębsze cechy struktury zapisu pozycyjnego, da się z punktu widzenia nauczania wczesnoszkolnego widzieć jako wstęp do nauki liczb, ich zapisu i podstawowych działań.

Dorosłych, uczonych liczb jak nazw oraz tabliczki mnożenia koniecznie na pamięć, dziwi na ogół prezentacja zdecydowanie prostszej własności liczb będących wielokrotnością dziewiątki. Wypiszmy te wielokrotności, które występują w tabliczce mnożenia, używając dwucyfrowego formatu, choć on jest nieco sztuczny w przypadku pierwszej z tych liczb:

  • 09
  • 18
  • 27
  • 36
  • 45
  • 54
  • 63
  • 72
  • 81
  • 90.

Lista jest symetryczna. Widzimy pary 09|90, 18|81 itd. W dodatku, by tę listę stworzyć, nie trzeba niczego liczyć. Wystarczy na miejscu dziesiątek wpisywać kolejne cyfry od 0 do 9, a na miejscu jedności – odwrotnie. Szok, prawda? Tego nas w szkole nie uczono. Przy okazji widać również, że 9 jest i musi być sumą cyfr każdej z tych liczb. Oraz widać, dlaczego.

Opisana wyżej sztuczka w wersji z żetonami umożliwiającymi uzyskiwanie innych wyników niż 9 nadaje się dla nieumiejących liczyć maluchów dlatego, że woreczki są potężnym narzędziem w liczeniu. W odróżnieniu od wprawek wykonywanych z użyciem rozmaitych kart pracy, woreczki pomagają dostrzec strukturę liczb choćby w trakcie dodawania i odejmowania.

Ile to jest np. 36 odjąć 27? Żetony mamy popakowane, mamy więc 3 woreczki i 6 żetonów luzem. Odjąć 27 znaczy zabrać 2 woreczki (na stole zostaje 16) i jeszcze 7 żetonów. Czyli trzeba zdjąć wszystkie luźne żetony ze stołu i jeszcze jeden z woreczka, a w tej sytuacji resztę trzeba wysypać. Zostaje 9. Wyjmowanie żetonu z woreczka – zwróćmy uwagę – jest odpowiednikiem „pożyczania” w odejmowaniu pisemnym. Ale dzieci szybko znajdą inne rozwiązanie. Odjąć 27 to również zabrać 3 woreczki, a potem dołożyć 3 luźne żetony – też zostanie 9, tylko o wiele szybciej i łatwiej.

Na tego rodzaju rozwiązania dzieci będą wpadały również wtedy, kiedy przy dodawaniu i odejmowaniu, ale także przy pierwszych mnożeniach, będą się stale posługiwały tablicą, o której już tu była mowa, choć wówczas dla wygody postanowiliśmy zwinąć ją w cylinder.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

60

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

Dodać 9 – jak zauważyliśmy – znaczy tu tyle, co przesunąć się o wiersz i cofnąć o jedno pole. Posługiwanie się tą tablicą zamiast kalkulatora natychmiast uruchomi strategie „przekraczania progu 10”, zwłaszcza jeśli dzieci będą się po niej poruszały pionkami, starając się wykonać jak najmniejszą liczbę ruchów. Dlatego plansza jest do tego celu lepsza niż zawinięty cylinder. Powyższe obserwacje dotyczące wielokrotności dziewiątki staną się dla dzieci oczywiste – w odróżnieniu od nas, dzieci „uczone” w ten sposób nie będą się dziwić „magii” tkwiącej w symetrii zapisu wielokrotności dziewiątki, ponieważ nauka liczenia polega dla nich właśnie na obserwacjach symetrii i innych własności tej skądinąd oczywistej tabeli.

Uogólnienie obserwacji o cyfrach wielokrotności dziewiątki na niedziesiętne systemy staje się proste i interesujące, dając ideę trzeciego z prawdopodobnie bardzo wielu możliwych dowodów. Obserwacja, która nas tu interesuje, polega na spostrzeżeniu, że wielokrotności dziewiątki leżą na przekątnej tabeli. Takiej, na której „współrzędne” kratek zajmowanych przez liczby sumują się do stałej wartości i ona wynosi właśnie 9. Jak wygląda tabela „niedziesiętna”? Ano, tak samo, tylko szerokość ma inną. Jej odpowiednia przekątna będzie miała tę samą własność. W zasadzie koniec dowodu. Albo początek zabawy, któr nie ma końca. Bo gdyby chcieć wyjść poza setkę pierwszych liczb, to tablicę 10 x 10 trzeba by było zastąpić „kostką” 10 x 10 x 10. Gdzie byłyby na niej wielokrotności dziewiątki? I jak wyglądałyby ich współrzędne? A gdybyśmy chcieli wydostać się poza 1000? Wtedy dopiero zaczyna się naprawdę ciekawie!

Spójrzmy na wielokrotności ósemki. Dodać 8 to – z oczywistymi zastrzeżeniami, które widać w tabeli – tyle, co przesunąć się w dół i cofnąć o dwa, prawda?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

60

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

Ułóżmy to tak, jak układaliśmy wielokrotności 9:

  • 08
  • 16
  • 24
  • 40
  • 48
  • 56
  • 64
  • 72
  • 80
  • 88
  • 96…

Układ jest nieco bardziej skomplikowany i symetria się załamuje, choć łatwo zauważyć, dlaczego. Widać powtarzający się cykl odejmowania dwójek w cyfrach rzędu jedności, regularność powtarzania się cyfr dziesiętnych (kiedy się powtórzą następnym razem?) itd. Ale proszę spojrzeć na sumy cyfr w tej liście: 8, 7, 6, 5, 4… Suma cyfr dla 48 będzie 12, więc i to dodajmy, a wyjdzie 3, potem będzie 2, 1, potem z kolei 9, 8, 7… Itd. – układ będzie się powtarzał. Proszę sobie skonstruować tabliczkę mnożenia – lepiej od razu zacząć nie od tej szkolnej 10 x 10, ale dłuższej, np. 10 x 30 – i zamiast wyników mnożeń zapisać w niej właśnie takie „jednocyfrowe sumy cyfr” i przez chwilę podziwić się regularnościami, które na niej widać.

Bawić się tak można długo i proponowałbym właśnie tak bawić się z dziećmi, zanim zaczniemy troszczyć się o tabliczkę mnożenia, katując nią dzieci według metod tradycyjnych lub stosując kolorowanki, dramy, czy gry komputerowe, ułatwiające zapamiętywanie według metod nowoczesnych. Bo również w tych oczywistych, zdawałoby się, rachunkowych podstawach nie o zapamiętanie chodzi, a o zrozumienie.

Wypada jednak konsekwentnie zapytać, po co takie rozumienie humaniście lub piekarzowi. Obaj powinni raczej umieć sprawnie liczyć w zwykłych sytuacjach, a nie zaglądać w trzewia układów zapisu. No, po pierwsze to im nie zaszkodzi, a ta naczelna zasada powinna obowiązywać nie tylko w medycynie, ale również w szkole. Zakuwanie zaś tabliczki na pamięć, owszem, szkodzi – jak tego rodzaju rzeczy zaszkodziły tej większości z nas, która ma dzisiaj uraz do matematyki. I również tej jeszcze liczniejszej większości, która uraz ma niekoniecznie, natomiast cierpi na wyniesiony ze szkoły syndrom wyuczonej bezmyślności, umysłowej bezradności, która ogarnia nas ilekroć wiemy, że należy zastosować jakiś „wzór”, a my go jak na złość nie pamiętamy.

Jeśli opanowanie tabliczki mnożenia ma być celem szkolnej edukacji, to poza wymienionymi już zastrzeżeniami, dotyczącymi przede wszystkim tego, że 12 lat przymusowej edukacji wydaje się w tym kontekście strzelaniem z armaty do komara, pojawia się szereg innych pytań. Co to właściwie znaczy „znać tabliczkę mnożenia”? W kontekście nadzorowanych przez państwo egzaminów (nie tylko tych zewnętrznych, ale również klasyfikacyjnych) nie od rzeczy będzie spytać, jaki byłby maksymalny dopuszczalny czas odpowiedzi na pytanie, ile to 6 x 7 i jaki margines błędu jesteśmy w stanie tolerować. My, to znaczy państwo. Czy ktoś, kto iloczyn 6 x 7 będzie mozolnie składał w pamięci lub na palcach, będzie miał większe, czy mniejsze szanse odpowiedzieć na pytanie o iloczyn 11 x 13 od kogoś, kto w zakresie do 100 tabliczkę mnożenia wykuje tak, że odpowiedzi poda w ułamku sekundy i nigdy się nie pomyli, natomiast poza tym zakresem wyćwiczony już nie będzie? W sprawie iloczynu 11 x 13 szkoła odpowiada natychmiast, że opanowanie tabliczki jest niezbędnym wstępem to tego, by mnożenie tego rodzaju szybko i sprawnie wykonać pisemnie. I to jest prawda, podobnie jak prawdą jest, że piekarz ani humanista nie muszą rozumieć, co robią, wykonując algorytm pisemnego mnożenia. Czy jednak rzeczywiście o taki cel nam chodzi? Również wtedy, kiedy mamy na myśli wyłącznie praktycznie, życiowe sytuacje? Zarówno piekarz, jak humanista może przecież wiedzieć natychmiast, że 11 x 13 to 130 + 13, więc odpowiedź 143 poda bez żadnego pisemnego mnożenia i zrobi to szybko. Zresztą po co to wszystko, skoro obaj mają kalkulatory? Czy nie lepiej byłoby zadbać zamiast tego o to, jak w ogóle rozumieć mnożenie?

Mało który spośród piekarzy i humanistów, ale również niestety mało który szkolny nauczyciel matematyki wie, że 0,999… = 1 i dlaczego właściwie to jest prawdą. A jeśli prawdą jest, że 0,999… = 1, to dlaczego nieprawdą jest, że 0,333… = 0,4. A może 0,333… powinno wynosić np. 0,34, bo chyba prawdą jest, że np. 0,6999…, inaczej zapisane jako 0,6(9) = 0,7? Czy naprawdę da się powiedzieć, że ci ludzie znają tabliczkę mnożenia i znaczenie cyfr, które wypisują? Czym istotnym różnią się od tych, którzy „czytają bez zrozumienia”?

 

Kosmiczna świadomość – w obronie abstrakcji przed metodyką konkretu

Jeśli próbować wyobrazić sobie pracującego nad matematyką dorosłego matematyka (a będzie to mniej niż promil populacji uczniów, kiedy dorosną), to większość czasu jego pracy będzie polegała na ciągłym powtarzaniu: „nie rozumiem”. Matematyk może podejmować rozmaite wysiłki, by się wydostać ze stanu kompletnego stuporu, ale jeśli tylko pracuje nad czymś naprawdę nowym i twórczym, one się będą okazywały daremne. O wiele skuteczniejsze okażą się inne aktywności – np. gra na skrzypcach, czy choćby słuchanie skrzypcowych koncertów. Stan stuporu wszakże jest udziałem matematyka przez ogromną większość jego „czasu pracy”. W końcu jednak przychodzi moment „WIEM!”… Nie jest tak zawsze, ale często ten moment to rzeczywiście mgnienie. Praca matematyka jest wtedy zakończona. Po niej przychodzi czas na kawusię, koniaczek, cygarko, czy co tam nasz matematyk lubi robić poza oddawaniem się smyczkowej muzyce w sposób czynny lub bierny. Doprawdy dziwną pracę ma matematyk.

Otóż moment „WIEM!” jest fajny. I to jest – poza myśleniem i poza użytym tu przykładem niechcianej w szkole indukcji matematycznej – coś, co moim zdaniem może i powinno się stać treścią matematyki w szkole. I to tej matematyki, którą adresujemy do wszystkich, z humanistą i piekarzem włącznie, a nie tylko do tych matematycznie uzdolnionych i „obdarzonych” (przez kogo niby?) matematycznymi zainteresowaniami. Kiedy powiem, że treścią powinny być intelektualne przygody i wyzwania, to powiem prawdę, ale powiem o wiele za mało. Rzecz w tym, że „WIEM!” następuje niemal zawsze, o ile tylko dotyczy rzeczy poważnych, w wyniku iluminacyjnego stanu natchnienia i towarzyszą mu wtedy podobnie ekstatyczne doznania. Wszelkie środki psychoaktywne wysiadają w konfrontacji z tymi doznaniami i najpokorniej proponuję w tej kwestii zaufać mojemu doświadczeniu w obu dziedzinach, bo ono tworzy bodaj najsolidniejsze podstawy mojej własnej kompetencji przedmiotowej – jeśli w ogóle mam jakąkolwiek. Matematyczne „widzenie” niesie doznania charakterystyczne np. dla heroiny – tej śmiertelnie niebezpiecznej królowej wśród narkotyków. Albo dla mistycznych medytacji – żeby użyć nieco bardziej cenzuralnego porównania. Edukacja to w ogóle sprawa poważna i ona powinna budzić respekt: chodzi w końcu o majstrowanie w ludzkich mózgach.

Przypomnijmy sobie, dla przykładu, co wiemy z anegdot o Archimedesie. Odkrywszy prawo wyporu latał na golasa po Syrakuzach, krzycząc nieprzytomnie. Pochłonięty krzywymi stożkowymi przestał jeść i myć się, a kiedy zaczął cuchnąć okropnie i uczniowie postanowili przemocą zaciągnąć go do łaźni, on bełkotał coś niezrozumiale i nie chcąc stracić ani sekundy, wciąż kreślił swe wzory palcem na brudnej piersi. Kiedy go w końcu zabił ów rzymski legionista, Archimedes troszczył się wyłącznie o rysunki kół na piasku… Wziąwszy pod uwagę jego zamiłowanie do brył obrotowych, można się domyślać czegoś ze spektrum autyzmu, ale też każdy, kto kiedykolwiek tak biegał nieodziany pod wpływem jakichś środków lub innych doznań – proszę mi wybaczyć uporczywe trwanie przy nieprzyzwoicie niecenzuralnych analogiach – wie dobrze, że podobne zachowania mogą być efektem stanów mistycznego zachwycenia i bywają udziałem ludzi skądinąd umysłowo typowych. Takie stany natomiast, o czym już nie wszyscy wiemy, towarzyszą także poznaniu. Wcale jednak nie każdemu.

Nie będziemy więc tak krzyczeć w zachwycie, kiedy „opanujemy” tabliczkę mnożenia, albo nauczymy się obliczać, ile to dwie piąte i jedna siódma. Ani wtedy, kiedy odkryjemy, że ((3N + 7) x 3 – 18) x 3 = 9(N + 1), choć to było treścią opisanej tu sztuczki w „zgadywanie myśli”. Nie wtedy, kiedy uczymy się liczyć na kasztanach zebranych w trakcie spaceru, albo kiedy zmierzymy wysokość drzewa przy pomocy twierdzenia Talesa. Raczej wtedy, kiedy zaczniemy rozumieć, dlaczego liczb parzystych jest dokładnie tyle samo, ile wszystkich liczb naturalnych, choć „powinno” ich być dwa razy mniej… Wtedy więc, kiedy zobaczymy coś, co namacalnym intuicjom przeczy lub chociaż je przekracza, a nie wtedy, kiedy już wszystko namacalne pomacamy. Raczej więc wtedy – by wyraźnie się skontrastować z zaleceniami nowoczesnej metodyki – kiedy siedzimy nad kartką papieru, a nie wtedy, kiedy jesteśmy na radosnym i kształcącym spacerze po lesie lub nawet w Centrum Nauki Kopernik.

Oczywiście jest to również wbrew wyrażonym wprost zaleceniom szkolnej podstawy programowej. Czytamy w komentarzu podstawy:

Nasza szkoła przywiązuje ogromną wagę do niewymierności liczb π i 2. Fakt tych niewymierności jest ważny, owszem, ale z filozoficznego punktu widzenia. Było to ogromnie ważne dla starożytnych pitagorejczyków, bowiem obaliło ich silne przekonanie, że harmonia kosmosu wyraża się stosunkami liczb naturalnych. (…) Jednak z punktu widzenia matematyki szkolnej (…) z niewymierności π i 2 nic w zasadzie nie wynika”.

 

Pojawia się oto w tym miejscu jakiś rodzaj definicji matematyki szkolnej odróżnionej od „nieszkolnej”, więc tym uważniej czytamy dalej, zwłaszcza, że od tego miejsca każde zdanie profesora Semadeniego, który ten tekst napisał, mogłoby się stać tematem osobnej lekcji:

 

Przecież wszystkie wielkości fizyczne są znane tylko w przybliżeniu, bo są efektem jakichś pomiarów. Komputery też posługują się wyłącznie liczbami wymiernymi. By uzmysłowić sobie, że niewymierność tych liczb nie ma żadnego wpływu na zakres szkolnej wiedzy, pomyślmy, co by było, gdyby 2 był jednak liczbą wymierną, ale zapisywałby się za pomocą ułamka, którego licznik i mianownik miałby jakąś ogromną liczbę cyfr, np. milion cyfr, może nawet więcej cyfr niż jest atomów we wszechświecie. Co wynikałoby z tej niewymierności?

Semadeni ma belferski zwyczaj oczekiwać odpowiedzi na retoryczne pytania. Nie znajduje się jednak w szkolnej klasie, tylko siedzi przy biurku, pracowicie spisując te wszystkie nonsensy, więc z braku uczniów gotowych chórem odpowiedzieć na to oczywiste pytanie, zmuszony jest odpowiedzieć sam sobie:

Nic.

 

Wiemy zatem, że szkolna matematyka to taka, która stroni od filozoficznych implikacji. Fakt, że komputery, które liczą o niebo sprawniej od nas, jednak nie są w stanie operować dostępną naszej inteligencji abstrakcją i jej znaczeniami, również nie powinien zajmować szkolnej młodzieży. Ważność i pewność praw fizyki wobec przybliżonych jedynie pomiarów też nie powinna obchodzić uczniów – jeszcze się któryś zapyta, czy √2 istnieje w przyrodzie, albo, czy w przyrodzie i w jaki ewentualnie sposób istnieje logika. Próba zapisania √2 w postaci ułamka wymagałaby rzeczywiście nieskończoności nad i pod kreską, prof. Semadeni nie tylko streścił tu klasyczne rozumowanie w tej sprawie, ale nawet poetycko pomyślał tu o wielkości wszechświata. Natychmiast jednak uznał, że właśnie z powodu tej poezji temat jest nieistotny i w szkole nielegalny…

Ta niewartościowa dla szkoły poezja jest bodaj najwartościowszą z możliwych cech matematyki, dającą się pokazać i zaproponować dzieciom. Wszystkim z nich, a nie tylko tym „z dobrych domów”, zdolniejszym, bardziej zainteresowanym. Z wielu powodów, ale również dlatego, że dzieciom z „gorszych domów”, tym mniej zdolnym i mniej zainteresowanym nie bardzo wiem, co miałbym proponować w zamian i po co, skoro już wiem, że nie tabliczkę mnożenia. I zwłaszcza dlatego, że jedyną znaną mi metodą na brak zainteresowania są próby jego wywołania, albo machnięcie ręką.

Niech więc √2 będzie kolejnym, po indukcji, przykładem treści, których nie chce ani szkoła, ani jej reformatorzy. Liczba wymierna to taka, którą da się przedstawić, jako iloraz dwóch liczb całkowitych, np. m/n. Liczby niewymiernej nie da się tak wyrazić. √2 – dla tych, którzy tego nie wiedzą – jest długością przekątnej kwadratu, którego bok ma długość 1, co wynika z twierdzenia Pitagorasa. Niewymierność √2 technicznie oznacza, że nie istnieje wystarczająco dokładna podziałka linijki, by dało się nią zmierzyć bok kwadratu i równocześnie jego przekątną. To jeszcze drobiazg, bo – jak słusznie zauważył prof. Semadeni – wiele wielkości znamy jedynie w przybliżeniu. Znacznie ciekawszy jest sam charakter tej niewymierności. Przyjrzyjmy się, by wiedzieć, czego szkoła odmawia uczniom.

Zakładamy więc najpierw, że jednak istnieje taka para całkowitych liczb m i n, że ułamek

m / n = √2.

W klasycznym dowodzie zakładamy też na wstępie, że tego ułamka nie da się skrócić, czyli, że m i n nie mają wspólnego dzielnika. Wolno nam to założyć, bo gdybyśmy mieli do czynienia z ułamkiem np. 4/6 (wspólny dzielnik to 2), to zawsze możemy go skrócić do 2/3 (dzieląc przez dwa jego licznik i mianownik) i kontynuować rozumowanie. Ale odejdźmy od klasycznego dowodu i nie zakładajmy niczego o naszym ułamku poza tym, że istnieje. Jeśli więc

m / n = √2.

to m2  / n2=2,

co z kolei oczywiście znaczy, że

m2=2n2.

Wynika z niego, że m2 musi być parzyste – lewa strona tej równości musi dzielić się przez dwa, skoro prawa jest w oczywisty sposób przez dwa podzielna. Łatwo sprawdzić, że kwadrat liczby parzystej jest zawsze parzysty, a nieparzystej – zawsze nieparzysty. Proszę po prostu sprawdzić na kilku liczbach parzystych i nieparzystych, albo cofnąć się do rysunków z kropkami wyżej, gdzie mowa o liczbach kwadratowych. Samo m musi więc również być parzyste. A skoro tak – uwaga, tu się trzeba na chwilę skupić – to musi istnieć jakieś, powiedzmy, k, takie, że nasze m jest podwojonym k:

m=2k,

bo na tym właśnie polega parzystość. Jeśli teraz do poprzedniej równości

m2=2n2.

wstawić 2k zamiast m, to dostaniemy

4k2=2n2

czyli

n2=2k2.

Kłopotliwe k, które tu wprowadziliśmy, interesuje nas tylko na chwilę – bo przede wszystkim dzięki niemu n2 okazuje się parzyste, a co za tym idzie parzyste musi być również n. A więc licznik i mianownik naszego ułamka są równocześnie parzyste, czyli ułamek da się uprościć, dzieląc licznik i mianownik przez dwa. Klasyczny dowód w tym miejscu się kończy, bo zakładał, że ułamek m/n uprościć się już nie da. My zaś możemy teraz, stwierdziwszy parzystość m i n, podzielić je przez dwa, dostając nowy ułamek q/r równy temu staremu. Tyle, że rozumowanie możemy powtórzyć i dla q oraz r. Wnioski będą te same – obie liczby okażą się parzyste. W rezultacie każdy ułamek równy pierwiastkowi z dwóch musiałby się w nieskończoność dać upraszczać przez dwa, czyli byłby ilorazem dwóch nieskończoności, a nie tylko liczb większych od ilości atomów wszechświata.

Nie wiem po pierwsze, co w tym rozumowaniu ma być trudniejszego od zwykłych szkolnych „wyrażeń algebraicznych” i dlaczego właśnie takimi problemami nie próbować zajmować uczniów zamiast słupkami liczb. Nie wiem też, czy próba wyobrażenia sobie dwóch dzielonych przez siebie potęg dwójki rosnących w nieskończoność, a jednak wyrażających zwykłą, choć niemierzalną wielkość, każdemu dostarcza owego „kosmicznego kopa”, czy może tylko niektórym, do których sam się zaliczam. Nie wiem również, czy wynikający z historii niewymierności przekątnej kwadratu fakt, że liczb niewymiernych człowiek nie wynalazł, a tylko odkrył je wśród rzeczy nieuchwytnych, a jednak istniejących gdzieś w Kosmosie, które człowiek jest w stanie dotknąć wyłącznie rozumem, jest w stanie poruszyć każdego, jak kiedyś poruszył mnie. Ale ani nie widzę powodu, by tego w szkole nie próbować, ani nie znam żadnego wytrzymującego krytykę innego związanego z matematyką tematu, który szkoła powinna proponować zarówno humaniście, jak i piekarzowi.

 

Możliwe konkluzje

Obawiam się, że okażą się druzgocące, jeśli uwierzyć w to, co napisałem powyżej, a czego, jestem mocno przekonany, podważyć się nie da. Choć przecież piszę, by ktoś spróbował. I na te próby liczę w komentarzach. Druzgocące będą zarówno dla twórców i zarządców dzisiejszej szkoły, jak i dla ogromnej większości jej reformatorskich krytyków.

Żaden program spisany językiem wymagań, dających się kontrolować na egzaminach, nie będzie możliwy. Z wielu powodów. Nie tylko dlatego, że zakładalibyśmy tu możliwą zbędność każdego z dających się nazwać elementów „kanonu” – włącznie z zasadą indukcji i niewymiernością niektórych liczb. Również dlatego, że przepytywanie kogokolwiek z dowodu niewymierności, podzielności przez dziewięć itd. byłoby zwyczajnie groteską. Te rzeczy da się wyłącznie pokazać, albo wspólnie ustalić w rozmowie. Albo pozwolić ustalić uczniowi. Nie da się natomiast wyobrazić sytuacji, w której na egzaminie ktokolwiek jest w stanie samodzielnie i na czas sklecić którekolwiek z przytoczonych tu rozumowań. Uczeń pojętny rozumie je bez specjalnego wysiłku. To jednak wcale nie znaczy, że potrafi na nie wpaść na żądanie. W historii matematyki trzeba było najtęższych umysłów i całych stuleci, by te rzeczy odkryć i opisać.

Wymagania, które takie ujęcie stawiałoby z kolei przed szkołą i jej nauczycielami, byłyby zaś potężne i o lata świetlne odległe od tego, czym szkoła dzisiaj dysponuje. Być może dałoby się je skodyfikować: raczej nie na poziomie państwowego systemu oświaty, ale na użytek pojedynczych szkół – czemu nie?

Oceny i ewaluacje tracą sens. Klasy dla dzieci starszych i młodszych oraz kryteria promocji sensu nie będą mieć również.

Przeciwstawienie edukacji elit oświacie dla mas ma również sens niewielki.

Metodyka zaś… Cóż, to jest dopiero kłopot. W matematyce z całą pewnością nie powinni jej uprawiać ci, którzy matematykę znają wyłącznie ze szkoły. Choćby dlatego, że da się z dużym prawdopodobieństwem założyć, że wszystko, o czym tu była mowa, jest dla nich nowością. Wszystkiego, co wartościowe, trzeba by uczyć od nowa – o ile tylko trafnie sam oceniam tę wartość. Jeśli tak, to trzeba by od nowa odkrywać ją przed kolejnymi pokoleniami uczniów.

Osadzenie edukacji w konkrecie codziennych doświadczeń, co bezustannie postulują metodycy, jest w matematyce piramidalną bzdurą. Jako filozofia szkoły w ogóle, taki kierunek również nie wydaje się żadną miarą sensowny. Wystarczy rozejrzeć się wokół i spróbować ocenić ów kontekst codzienności… Czy na pewno chcielibyśmy uczyć właśnie tego, co widzimy wkoło?

 

109
Dodaj komentarz

30 Comment threads
79 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
8 Comment authors
avataravataravataravataravatar Recent comment authors
  Subscribe  
najnowszy najstarszy oceniany
Powiadom o
avatar
Gość

Z kodyfikacją wymagań wobec szkół i nauczycieli jest dokładnie ten sam problem, który punktujesz przy okazji egzaminów: to musiałoby się przerodzić w groteskę. Można podać najwyżej zdroworozsądkowe oczekiwania, które siłą rzeczy będą nieostre, intuicyjne i nie nadające się do formalnego zastosowania. Tak naprawdę, to od szkół i nauczycieli w tym modelu oczekujesz, by oni sami byli wrażliwi na piękno intelektualne i byli zdolni to piękno pokazywać. O ile na zdrowy rozsądek niemal każdy umie odróżnić artystę od pacykarza, o tyle sformalizować tego rozróżnienia się nie da. Doświadczenie z Państwową Komisją Akredytacyjną i kodyfikacją wymagań wobec uczelni wyższych pokazują do czego… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Sens w egzaminowaniu nauczycieli — oczywiście. To warunek konieczny, ale nie wystarczający. Trzeba od nich wymagać porządnego wykształcenia merytorycznego. Uczciwe magisterium ze swojego przedmiotu na pierwszoligowym uniwersytecie. Ale to nie wystarcza — Pimko et co. takie wykształcenie mają, nawet Semadeni jest profesorem UW. Na to, co wydaje się być najważniejszą kwalifikacją ponad ten oczywisty standard wiedzy merytorycznej, czyli na własne odczuwanie piękna matematyki, żadnego kryterium nie ułożysz. Tak, jak nie napiszesz regulaminu rozróżniającego poetę od ortograficznie piszącego grafomana. Masz rację w tym, że od nauczyciela nalezy wymagać, by De Revolutionibus przynajmniej przejrzał, poczytał porządne opracowania i wiedział o czym to… Czytaj więcej »

avatar
Gość
monikasz

Napiszę coś, żebyście nie czuli się samotni… Po raz któryśtam zdejmuję z głowy kapelusz, którego nie mam, już nawet nie tylko z powodu samej treści i jej merytorycznych wartości, ale także Twojej konsekwencji czy wręcz uporu w walce o treści programowe i ich znaczenie. Wydaje się jednak, że nawet na tym blogowisku ten temat jest jakoś.. mało popularny. O modnych metodach i sztuczkach dydaktycznych dyskutuje się do utraty tchu, wpada w radosny entuzjazm, natychmiast wypróbowuje na niewinnych ofiarach, a Twoje propozycje i apele (nie tylko Twoje oczywiście, ale właśnie do Ciebie się teraz wprosiłam) wywołują niewielki stosunkowo odzew. A mnie… Czytaj więcej »

avatar
Gość

A ja zawsze czytam 🙂 Właśnie kombinuję, jak zrobić te mozaiki z niezbyt sprawnie wycinającymi maluchami, może jakiś szablon? Hm…. I zgadam się z Moniką – mnie po prostu zatyka przy którymś waszym kolejnym przykładzie… a maturę mam porządną z matematyki, liczyłam jeszcze logarytmy i prawdopodobieństwa w liceum, nie wiem nawet, jak jest teraz. W Kolegium Nauczycielskim głównie robiliśmy na metodyce zbiory… I nie wiem, czy mam podstawy do radości, bo może to oczywiste, gdy dziś dwa moje przedszkolaki – dziewczynka i chłopak, czyli pełen gender – po spacerze, na którym wyniknął problem braku pary dla 13. dziecka, układały guziki… Czytaj więcej »

avatar
Gość

„Właśnie kombinuję, jak zrobić te mozaiki z niezbyt sprawnie wycinającymi maluchami, może jakiś szablon?” Oczywiście, że szablon! Zgrabnie wygięty z blaszki. Trzeba wyrysować na kartce kształt (komputerem łatwo) i posiedzieć z blaszką i szczypcami przez pół godziny, żeby wygiąć ją w taką foremkę. Sam kiedyś (dawno to już było) robiłem kruche ciasteczka Eschera — jaszczurki. Zrobienie blaszanej foremki z puszki po konserwach zajęło może godzinę pracy ze szczypczykami. Do jaszczurek, to ciasto w trzech kolorach: czyste (jasne), kakaowe i bardzo mocno kakaowe. Ale dla innych wzorów wystarczą dwa kolory. Tylko trzeba zrobić dość twarde ciastka — mało proszku do pieczenia… Czytaj więcej »

avatar
Gość

E, tam. Żadne niedouctwo, Moniko. Jeśli Twój podstawówkowy syn daje sobie radę z OMG, to przecież (niezależnie od jego chęci i zdolności) Twoja zasługa, a nie szkoły. Niedouctwo to wytykam tym, którzy się obnoszą, że nie mają pojęcia i zwalają za to winę na cały świat. W pełni tu zgadzam się z Moniką: taki program jest nierealny w szkole masowej właśnie z przyczyn kadrowych nie do przeskoczenia. Za duże pieniądze można byłoby wykupić z innych zawodów kilkaset osób zdolnych do prowadzenia takich zajęć, ale nie więcej. Nadal ich będzie o dwa rzędy wielkości mniej, niż etatów do obsadzenia. Wittgenstein mógł… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Baś

Trafiłam tu i się zaczytałam… intensywnie. Nie czuję się na tą chwilę na siłach wchodzić do dyskusji, ale uśmiechnąć mi się udało, gdyż dodawanie i odejmowanie z woreczkami po 10 i luźnymi elementami robię zawsze z dzieciakami, tylko zamiast żetonów wykorzystuję fasolę. Tajemnice liczby 9 i jej rozpisywanie również. I budzę zdziwienie u rodziców mych uczniów, tłumacząc, że uczenie się tabliczki mnożenia na pamięć jest bez sensu, że ona sama się kiedyś zapewne nauczy, bo siłą rzeczy w końcu zapamiętujemy niektóre przykłady, natomiast z dziećmi liczę wielokrotnościami liczb. Bezwstydnie uświadamiając, że to plus palce daje szybko poprawny wynik, jeśli takowego… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Witamy w klubie! Cieszę się z tego Pani towarzystwa tym bardziej, że wśród szkolnych nauczycieli zrozumienie dla takiej filozofii edukacyjnej, jaką Paweł tu spisał, jest jeszcze rzadsze, niż jego potrzeba wśród rodziców. Tylko proszę nie przesadzać z tym przelewaniem wody z dziećmi! W dyskusjach edukacyjnych już leje się jej aż nadto… A poważniej: proszę, na ile to leży w Pani możliwościach, uciec z dziećmi od koncentracji na liczbach i liczeniu, a pokazywać im, że arytmetyka to tylko maleńki (i w dodatku jeden z mniej ciekawych) zakątek matematyki. À propos tego strasznego mnożenia dla trzecioklasistów… Na ostatnio przez nas dyskutowanej na… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Baś

„pokazywać im, że arytmetyka to tylko maleńki (i w dodatku jeden z mniej ciekawych) zakątek matematyki” – no i właśnie do tego brakuje mi często wiedzy 🙁 żeby to zrobić, trzeba samemu te zakątki znać. Nie miałam takiego szczęścia, aby ktoś kiedyś mi to pokazał; sama odkrywałam, ze matematyka potrafi być ciekawa i potrzebna, że nie jest nudna i trudna. Jednak za mało wiem, a żeby szukać, trzeba mieć pojęcie, czego. Dlatego to nie jest takie proste. Staram się na miarę wiedzy i możliwości, ale zdaję sobie sprawę, że wiele mi umyka właśnie z braku matematycznej świadomości. I nie chciałabym… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Doskonale rozumiem trudność. Przymierzałem się kiedyś do poprowadzenia szkoleń (raczej czegoś w rodzaju nieformalnych studiów) „matematyka dla przedszkolanek” — z całym szacunkiem dla przedszkolanek — mających na celu pokazanie takich zagadnień. Ale pomysł diabli wzięli, bo ja sam nie mam zdolności organizacyjnych, sponsorzy się wycofali, a i zainteresowanie nie było takie, żebym to był w stanie sam zapiąć organizacyjnie. Temat, oczywiście, wykracza poza możliwości blogu „wujka dobra rada”. Jedyne, co mogę uczciwie radzić, to lektury. Od Pawła pomysłów z tematami dla maluchów (e.g. zagadnienie najkrótszej trasy z lustrem i laserowym wskaźnikiem), przez mój blog, gdzie znajdzie się sporo zagadnień typu… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Baś

Bardzo chętnie poczytam i poprzymierzam się do realizacji. Mogę „z czystym sumieniem”, bo realizuję właśnie innowację, polegającą na… edukacji przedmiotowej w klasie 3 w celu zniwelowania trudności adaptacyjnych w klasie 4. Takie mamy realia, że, żeby robić coś, co powinno być oczywiste, trzeba to usankcjonować formalnie. Ale ad rem: ponieważ mam codziennie lekcję matematyki, a ćwiczeniami pakietowymi już… no nie będę się wyrażać co ja i dzieci nimi robimy, to alternatywa matematyczna kusi mnie bardzo. Dziękuję!

avatar
Gość
Baś

Jak mi miło, że mój komentarz został zauważony, a nawet wzbudził zainteresowanie! Nie stałam w przeciągu, nie jestem ofiarą przemocy domowej. Zawodowe szlify zdobywałam w Studium Nauczycielskim, w klasie wychowania przedszkolnego. I to było to – likwidacja SNów poczyniła niewyobrażalne szkody w edukacji. Nam tam pokazywano, jak działać z dziećmi, jak im pokazywać świat i jego prawa, jak z wiedzy zrobić zabawę. Dano podstawy, wskazówki, warsztat. A reszta cóż, ja lubię w pracy czuć tą dziecięcą fascynację tym, co robimy, widzieć jak z czupryn unosi się para od przegrzewanych w główkach zwojów, jak zapalają się żarówki w oczach, których właściciele… Czytaj więcej »

avatar
Gość
umarta

Zwykle nie zabieram głosu w żadnych internetowych dyskusjach, ale… przeczytałam wypowiedź Baś i mi ulżyło. Być może to nie ja i moje dzieciaki jesteśmy dziwni, tylko system szkolny. Od dawna odnoszę wrażenie, że obecnie obowiązująca podstawa programowa nie jest niczym innym jak obrażaniem możliwości intelektualnych dzieci. To całe „ugruszczykkolczykowienie” edukacji matematycznej nie wychodzi jej na dobre. Moje dzieciaki w wieku 6 lat świetnie bawiły się liczbami pierwszymi (układały kolorowe liczby), w drugiej klasie całkiem na serio szukały sposobu na ich przewidywanie (niestety nie udało się;), ale dyskusje były fantastyczne), wiedzą co to liczba pi (jak wstawić symbol?), badały zależność między… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Baś

Jakbym nie pamiętała samej nazwy, pal to sześć. Ale gorzej, że nie pamiętam tego, o co chodzi. Tak, widzę, że znam trójkąt Pascala (znaczy znam jego właściwości, umiem uzupełnić liczbami),ale nie pomyślałabym o nim na bank, gdybym nie zobaczyła nazwy i nie poleciała sprawdzić, co to takiego. Zwyczajnie – za mało matematyki w moim życiu było, właśnie takiej matematyki, pokazującej ciekawe zakątki matematycznego świata. Teraz sobie siedzę i o kombinatoryce czytam (tak tak, od trójkąta Pascala do niej doszłam) 😉 I taką konkluzję mam: można się tym świetnie bawić, ale podstawę dzieciaki mieć muszą, czyli właściwie znać i rozumieć pojęcie… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Baś

Zajęcia z ósemką dzieci o liczbach kwadratowych, z układaniem kwadratów, zapisywaniem, odkrywaniem zależności, zakończyły się konkluzją uczestników, że kwadrat każdej liczby to ona sama pomnożona przez siebie. Dumna z nich jestem!

avatar
Gość

Zaspamowaliśmy już strasznie Wiesława, zaraz nam się słusznie dostanie, bo to i temat u niego poboczny, a tu dużo bardziej pasujący. Kwestia związku plebsu z popkulturą i przyczyn, dla których kultura przestała popłacać jest tu raczej nieistotna — niezależnie od przyczyn, tak po prostu jest. Podobnie chyba tu nie miejsce na polemikę z pytaniami „dlaczego nie można porządnie płacić”. Zapytaj rodziców ze swojej szkoły, dlaczego nie chcą płacić nauczycielowi nawet tyle, co płacą fryzjerowi. „Taką samą presję stanowi ogromna większość nauczycieli w dzisiejszych szkołach.” Czuję się jednak zmuszony podkreślić różnicę pomiędzy korzystaniem ze swojej millowskiej wolności decyzji u rodziców aktywnie… Czytaj więcej »

avatar
Gość

 „czy „większość uczyć się go nie będzie” jest diagnozą, czy programem.“ Diagnozą, czy raczej antycypacją realności. Nigdy nigdzie nikt z nas tu nie postulował żadnego ograniczania czyjegokolwiek dostępu do Pitagorasa. To, co można by było nazwać programem, to jedynie postulat powstrzymania się od wciskania komukolwiek Pitagorasa wbrew jego woli. A to, że bez przymusu większość będzie mieć go gdzieś, jest po prostu konstatacją ludzkich upodobań. „W mojej optyce troska o tych, którzy „z natury” interesują się Pitagorasem, jest niecelowa — oni sobie poradzą. Jeśli jakaś edukacyjna instytucja publiczna miałaby się o cokolwiek troszczyć, to raczej właśnie o „masy”.” Duży… Czytaj więcej »

avatar
Gość

„Teza o tym, że większość ma gdzieś Pitagorasa i że jest w tym konstatacja ludzkich upodobań, jest we wszystkich moich obserwacjach po prostu najzupełniej fałszywa“ Taaaak? To sprzedaj jakiejś matce usługę uczenia jej dziecka o Pitagorasie za cenę taką, jaką płaci swojemu fryzjerowi. Nie ma lepszej miary popytu i zainteresowania, niż chęć do płacenia. Nie oszukuj się. Ładna fryzura jest dla ogromnej większości ludzi ważniejsza, niż to, czy ich dzieci rozumieją Pitagorasa. Chętnie wydają pieniądze na bilet na holywoodzką sieczkę, jeszcze dopłacą za popcorn, ale biletów do Prezentacji nie udaje się wszystkich sprzedać już w tydzień po premierze. Bloom ich… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Wolne media i wolne szkoły Jest tu istotna różnica, dająca nadzieję na szansę przeżycia przyzwoitych szkół. Media funkcjonują na zasadzie (drogi prototyp, bardzo tanie powielenie), więc opłaca się wyłącznie produkcja pod masowy gust, a zupełnie nieopłacalna jest produkcja pod gusta niszowe. Szkoła natomiast jest jeszcze szkołą bezpośrednią: gdzie jeden wykonawca (nauczyciel) nie może być powielany do milionów odbiorców, ale może obsłużyć tylko niewielką ich liczbę. Koszty działalności skalują się z liczbą odbiorców. Stąd i niewielkie nisze mogą dać utrzymanie niewielkim niszowym producentom. Z tego powodu widzę porównanie edukacji raczej do restauracji, niż do mediów. Gdzie przy zalewie McDonald’s, Pizza Hut… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Na lekcje gry na fortepianie, prywatne lekcje angielskiego i francuskiego, treningi tenisa, etc. popyt jest realny i co najmniej kilkudziesięciokrotnie większy, niż na uczenie o Pitagorasie. Ten zaczyna zdobywać popyt wyłącznie w kontekście zdania egzaminu gimnazjalnego. I to nie w celu zrozumienia, ale wyłącznie w celu zaliczenia egzaminu. Chętnych do płacenia 1500zł miesięcznie za sympatyczną i niewymagającą przechowalnię na dzieci z szyldem „szkoła społeczna“ jest całkiem sporo. Uśmiech nauczycielki wart jest zapłacenia 1500zł, Pitagoras nie jest wart. Skąd sądzisz, że wśród mas te proporcje priorytetów są istotnie różne, niż wśród ludzi, których stać na płacenie za szkoły społeczne już dziś?… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Wcale nie jest takie jasne, bo są tacy, co płacą z własnej woli za szkoły. I płacą nie za Pitagorasa, ale za to, by nauczycielka była uśmiechnięta, korytarze kolorowe, a dzieci się nie stresowały. Za ten uśmiech nauczycielki są gotowi płacić, a za treści i styl, jaki opisujesz: nie. Ci, którzy korzystają z darmowej szkoły widzą jej nędzę. I przejmują się tym, że lekcje WF to fikcja, więc posyłają dzieci na treningi tenisa i za nie płacą. Widzą, że lekcje angielskiego to fikcja, więc posyłają dzieci na prywatne lekcje i za nie płacą, bo im zależy, żeby dzieci po angielsku… Czytaj więcej »

avatar
Gość
Robert Raczyński

Czytam po kawałku, nie mam czasu odpowiedzieć, ani odnieść się do całości, ale wydaje mi się, że gdzieś zgubiły wam się dwie kwestie. Pierwsza, zasadnicza, po co. Zostawiając na chwilę na boku rozstrzygnięcie, czy wielu jest ludzi chcących uczyć się o Pitagorasie i czy są elitą, czy też każdego Jasia daje się trójkątami zainteresować, warto zastanowić się, po co Jasie i Małgosie mieliby to robić, bo, z całym szacunkiem, pewnie nie po to, by mieć jak argumentować na internetowych forach. Jaką to presję ewolucyjną (celowo wybieram to wyrażenie) wywiera na ludzi codzienność, by mieli wybierać szkoły dobre, a nie te… Czytaj więcej »

avatar
Gość

A może najpierw odkrywają, a potem niszczą? Tu nie ma sprzeczności. „Twojej zgody na koncesje mieć nie muszę — za mną stoi system państwowy“ Właśnie tego się obawiałem. Bez bagnetów ani rusz. Bagnety są fajne, byle nasze. Na szczęście system państwowy funkcjonuje w demokracji, a demokratyczna większość nie poprze ani Twoich, ani żadnych innych (poza politycznopoprawnymi albo patriotycznymi ozdobnikami) zmian w treści koncesji. W żadnym jednak razie nie licz na moje poparcie dla utrwalania systemu koncesyjnego z jakąkolwiek treścią — choćby mi się ona podobała, jak jak Twoja. Wróciliśmy jednak do punktu: przymus. Ta wizja (abstrahując od nierozwiązywalnego problemu kadrowego)… Czytaj więcej »

avatar
Gość

„Nie wiem dlaczego sądzisz, że ilekroć chcę, żeby cokolwiek — np. promocja Pitagorasa — była zadaniem szkoły, to koniecznie państwo ma to robić i koniecznie z bagnetem w dłoni.” Dlatego, że przedstawiasz tę wizję jako szkołę masową, masowość osiągającą poprzez odziedziczenie „klientów” dzisiejszej szkoły państwowej. Jedynym sposobem na realizację czegoś takiego (sam to wskazujesz, nie pokazując innych mechanizmów uzyskania masowości) byłoby działanie państwa: podmienienie dzisiejszego programu Semadeniego Twoim programem i kontynuacja obecnego przymusu. Pomysł jako taki bardzo mi się podoba i gotów w nim jestem uczestniczyć. Jednak bez bagnetów. Ale bez bagnetów może liczyć najwyżej na jeden, może pięć procent… Czytaj więcej »

avatar
Gość

„Wszystko, czego chcę od państwa, to żeby bagnet porzuciło, przestało w jakikolwiek sposób wspierać kształcenie maluczki na maluczką miarę itd.“

Wyraźnie Cię nie zrozumiałem.
Bo to zaprzestanie kształcenia maluczkich na maluczką miarę i moim jest celem.
Nie wiem dlaczego ubzdrało mi się, że marzy Ci się, żeby państwo kształciło maluczkich na miarę herosów.
Widocznie byłem w błędzie tak odczytując Twoje komentarze. Przepraszam!

avatar
Gość

„sądzę, że orzecznictwo tego rodzaju (casus Summerhill) jest możliwe również w polskiej doktrynie prawnej“ Nie jest. Kontynentalna doktryna prawna wymaga ścisłych i jednoznacznych przepisów. Interpretacja na miękkim poziomie konstytucyjnym jest zastrzeżona dla Trybunału Konstytucyjnego i Europejskiego Trybunału Sprawiedliwości, a poniżej tego przepisy muszą być ścisłe. Wszelkie uregulowania działania instytucji publicznych muszą być absolutnie jednoznaczne. Tak, czy inaczej — casus Summerhill pokazuje tylko tyle, że w Anglii udało się wybronić przed likwidacją maleńką, niszową instytucję, działającą pod prąd państwowej machiny. Summerhill nie jest standardem masowej szkoły brytyjskiej! „Poza prawem natomiast — podkreślam: poza prawem — szkole zwyczajnie potrzebna jest sensowna treść i… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Jest trochę ogólnych zapisów w prawie, ale wyłącznie niekontrowersyjnych. Ile razy wokół któregoś sprawa urośnie aż do poziomu Trybunału Konstytucyjnego, to ten każe Sejmowi uściślić przepisy. Vide zeszłoroczny wyrok w kwestii kryteriów egzaminacyjnych, zgrabnie przepoczwarzony w sprawę „ocen opisowych“. To jednak nie ma znaczenia w kwestii certyfikacji. Tu nie może być uznaniowości nawet w Anglii. Trzeba rozróżnić między koncesjonowaniem, a licencjonowaniem (certyfikacją). Koncesję dostaje ten, kogo władza wybierze, jako najlepszego (e.g. Radio Maryja ma koncesję na nadawanie), kierując się jakimiś przepisami. Licencję musi dostać każdy, kto spełni określone wymagania. Jasno określone i jednoznaczne. Checklista do odhaczenia. Ma wisieć instrukcja mycia… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Prawo, obowiązek i zawodówki Kiedyś już to dyskutowaliśmy, ale może warto wrócić do tematu. Mniemam, że argumentujesz we własnym imieniu, a nie powtarzasz argumentację RPO… Pierwsza kwestia: ochroną prawa do czegoś, można uzasadnić dowolną przemoc. Chińskie komuny ludowe też realizowały prawo do pracy zesłanych tam ludzi. Nawet nad bramą Auschwitz wisiało szczytne hasło „Arbeit macht frei” – Auschwitz realizował prawo do wolności! Secundo: żadne inne prawo nie jest chronione w tak kuriozalny sposób. Państwo nie zabiera dzieci rodzicom i nie wsadza ich do domów dziecka, by zagwarantować ich prawo do życia (przecież rodzice mogliby je zamordować, a czasem nawet to… Czytaj więcej »

avatar
Gość

„Szkołom zawodowym — w odróżnieniu od szkół ogólnych — przyświeca bardzo konkretny cel przygotowania do konkretnego zawodu. I zupełnie nie o to chodzi, że to jest „niższy poziom” wykształcenia albo „gorszy zawód”, ale o to, że ta decyzja zapada przedwcześnie” Ja właśnie o tym! W imię „by nie było to przedwcześnie” trzyma się w sztucznej przechowalni setki tysięcy takich, którzy tę decyzję podjęli i jej nie zmieniają przez czas tej przechowalni. Ale ta przechowalnia kosztuje marnację ich czasu i energii. Za ideologiczną mrzonkę, z której korzysta kilka procent, wszyscy muszą płacić dużą realną cenę. Obserwując dwa systemy: polski, gdzie ta… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Państwu warto zostawić możliwość interwencji, ale do tego nie potrzeba żadnych szczególnych przepisów. Tak, jak nie potrzeba żadnych przepisów o żywieniu dzieci, by państwo mogło interweniować, gdy dzieci są zagłodzone, nie trzeba szczególnych przepisów o sprawdzaniu, czy dzieci żyją, by państwo interweniowało w sprawach dzieciobójstwa, ani nie trzeba szczególnych przepisów o ochronie wolności dzieci, by państwo wsazdiło Kampuscha do więzienia. Do czego prowadzą natomiast specjalne przepisy o ochronie dzieci przed rodzicami, to masz przykład CiężkoNam u Marzeny. I setki innych podobnych, z których mało który przebija się do mediów. A jakoś nie słyszałem o ani jednym przypadku, by takie państwowe… Czytaj więcej »

avatar
Gość
EwkaK

Proszę przyjąć wyrazy uznania! Oczywiście one nie dotyczą tych specyficznych ilustracji dla „kosmicznej świadomości”, z których Pan był tu łaskaw skorzystać 😉 Ale wizja filozofii szkoły, która się z tych Pańskich przykładów wyłania, jest mi oczywiście bardzo bliska. Muszę wyznać, że to szalenie miłe uczucie tak bardzo wspólne myśli spotkać u kogoś drugiego, a kiedy to jeszcze dotyczy obszarów tak skrajnie różnych zainteresowań, to robi się wtedy tak, jakby się bratnią duszę i ojczysty język znalazło w sercu amazońskiej dżungli. Również uważam, że szkoła powinna mieć jakieś powinności. Z rozbawieniem widzę, że zastaję Panów wciąż w tej samej dyskusji o… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Z uporem ignorujesz dwie przesłanki, unieważniające ten program, jako program szkoły masowej: 1. niemożność zapewnienia podaży na masową skalę; 2. brak masowego popytu w warunkach wolności wyboru, jedynym sposobem na stworzenie popytu byłoby wymuszenie go państwowym przymusem lub monopolem. Pierwsze jest po prostu ograniczeniem nie do przeskoczenia, drugie jest niedopuszczalne z racji etycznych. Być może tu leży różnica pomiędzy wrażliwością lewicową a liberalną: liberalizm nie uznaje zasady „cel uświęca środki”, ani nie wypiera realnych ograniczeń przez wishful thinking. Ale jako pod programem niszowej szkoły, funkcjonującej w warunkach wolności jej wyboru, to podpisuję się w całości. Tu jest to bardzo dobry… Czytaj więcej »

avatar
Gość
EwkaK

Panie Ksawery, bardzo dziękuję! Nie jestem pewna własnej radości z powrotu. Przyszedł mi natomiast do głowy — w związku z powrotem do cywilizacji i Panów powracającej dyskusji o tym, co w edukacji jest przemocą, albo co nią jest w ogóle w kulturze – taki cytat: „Roger pochylił się, wybrał jeden kamień, zamierzył się i rzucił w Henry’ego — rzucił specjalnie tak, żeby nie trafić. Kamień, ów symbol niedorzecznej epoki, mignął o kilka kroków w prawo od Henry’ego i plusnął w wodę. Roger zebrał garść kamyków i zaczął nimi rzucać. Wokół Henry’ego była jednak przestrzeń o średnicy może sześciu jardów, w… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Tyle, że wykształcenie kadr w liczbie, zdolnej zapewnić obsługę tego programu, to dwa pokolenia w najbardziej optymistycznym scenariuszu eksponencjalnego wzrostu. Niezależnie od tego, jakie materiały będzie się im podsuwało. Śmiem wręcz twierdzić, że im lepsze materiały się im podsunie, tym kadry będą gorsze, bo pozbawione motywacji i zdolności do samodzielnego poszukiwania wiedzy, co w Twoim programie jest fundamentalną kompetencją od nich wymaganą. Nauczyciel, któremu podtyka się fajne materiały pod nos sam też będzie podtykał dzieciom fajne materiały pod nos. Transmisja bierności poznawczej gwarantowana. „Ponieważ nie sądzę, żeby po zniesieniu obowiązku szkolnego szkoły raptem opustoszały i raczej stawiam, że 95% uczniów… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Oczywiście, że trzeba zacząć to kształcenie kadr. Ale to oznacza trzy rzeczy: 1. Dopóki ich nie będzie sporo (co zajmie pokolenia) to trzeba zapomnieć o masowości tego projektu, niezależnie od innych przesłanek; 2. Kształcić je można jedynie przez budowę „rezerwatów” inteligencji, czyli elitarnych, niszowych szkół, z całą świadomością, że płodność inteligencji nie dorównuje królikom, a raczej jest na poziomie pandy wielkiej; 3. Jeśli nie poprzesz utrzymywania monopolu programowego państwa przez te kilka pokoleń, potrzebne do rozmnożenia inteligencji, ale uwolnisz szkoły wcześniej, to przekształcą się do tego czasu w Bóg wie co. Od szkół dialogu po szkoły wiszenia na drzewach i… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Jeśli mogę pospekulować, to sądzę, że poloniści dlatego trzymali się najlepiej, że i kultura literacka ma się jeszcze najlepiej. To znaczy najmniej źle. W wykształconych środowiskach jednak nadal pewnym obciachem jest nie czytać nic poza „Galą” i nie wiedzieć, co to za jedna była ta Ofelia, ale żadnym wstydem, wręcz z dumą się można obnosić, że nie ma się pojęcia o Kartezjuszu i nie wie, kto z kim i dlaczego nawalał się w wojnie stuletniej. A na Rolanda już przyszły dni. Jest politycznie niepoprawny. Kazia Szczuka to kiedyś bardzo przekonująco uzasadniła. Nie dość, że męskoszowinistyczny, apoteoza przemocy i militaryzmu, to… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Widzę, że wdepnęliśmy w zupełnie inny temat: jak powinna wyglądać edukacja literacka w „szkole naszych marzeń”. Przy całym dla niej uznaniu, dość daleko mi tu do Kłakówny. W tej polonistycznej edukacji widzę dwa elementy. Po pierwsze, żeby dzieciaki nauczyły się mówić, argumentować, pisać, etc. z sensem. I wcale nie uważam, że najlepszą wprawką w pisaniu są rozprawki literackie. Równie dobrze, a może i lepiej, żeby pisali eseje i wygłaszali referaty o teorii mnogości albo endosymbiozie mitochondriów. Problem szkoły leży tu w tym, że nauczyciele matematyki i biologii są w jeszcze mniejszym stopniu zdolni do sensownego podjęcia się tego zagadnienia, niż… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Przeciwko podejściu Kłakówny w jej osobistym wydaniu nie miałbym żadnych obiekcji, a pewnie i sam bym chętnie skorzystał. Problem jest jednak w tym samym, co w Pitagorasie — trzeba nauczyciela na odpowiednim poziomie kulturalnym i filozoficznym, a tych na lekarstwo. Choć zdolnych do dyskusji literackich pewnie trochę więcej, niż do dyskusji o matematyce. Jest też drugi problem (chyba jeszcze gorszy, niż tradycja procentów w matematyce) — tradycja „przerabiania” i historycznoliterackie ujęcie, jakie króluje na uniwersytetach, więc nawet wśród absolwentów pierwszoligowych uniwersytetów to podejście dominuje. Jest też pytanie o cele, które tu trzeba otwarcie postawić. Ja nie chcę przesądzać, co tu… Czytaj więcej »

avatar
Gość
EwkaK

Panie Pawle, nie mam pojęcia! Proszę raczej pytać prof. Kłakówny, zresztą nie podejrzewam, żeby ona miała śmiałość proponować odpowiedź. Myślę, że ona nie próbuje „rozplątać nierozerwalnie związanego”, tylko się chce do tego odnieść filozoficzną propozycją, którą sama ma dla dzieci. Tu chcę uprzedzić ewentualne uwagi Pana Ksawerego — to są, jak rozumiem, własne propozycje prof. Kłakówny, podobnie jak powyższe propozycje są Pana Pawła. To nie jest chyba coś, co oni by chcieli, żeby się stało ujednoliconym programem państwowej szkoły, przewrotnie przez nich tylko nazwanym „ofertą”. Jak Pan wie, jestem katechetką 😉 Tu zaś problem wolności, przymusu, „tworzenia środowiska”, jak Pan… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Ma Pani rację – moja radość z Pani powrotu była dość egoistyczna. Z mojej perspektywy Pani obecność, to pewien promyczek łagodzący mój, coraz mocniej przepełniający mnie Weltschmerz. Ale z Pani perspektywy to może oznaczać niesmak powrotu do głupoty i bezsensu. Heisenberg chyba nie aż tak daleką metaforę snuł z tym tańcem. Wydaje mi się (choć nie pamiętam kontekstu tego cytatu), że to jednak było o istocie mechaniki kwantowej i jej problemie interpretacyjnym związku podmiotu z przedmiotem pomiaru, u Bohra zresztą przemilczanym i zostawionym z w pół drogi, co do dziś ciągnie się niezliczonymi dysputami metafizyczno — meta-fizycznymi. Ale jest tu… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Pozorność większości różnic widzimy! Bardzo trafnie opisuje Pani istotę tego naszego sporu i diagnozuje nasze postawy. Nie sposób jednak uznać sprawy państwowych standardów za rzecz wyłącznie techniczną. To kwestia zdecydowanie aksjologiczna. I w tej właśnie aksjologii leży istota całego sporu: czy demokratycznemu państwu wolno kształtować swoich obywateli? Mniejsza o to, czy ten zakładany ideał jest mniejszościowy, czy większościowy i jakie/czyje przesłanki etyczne go uzasadniają. Mi takie projekty masowej edukacji według jakiegokolwiek programu pachną tym samym, co o.Wiśniewskiemu pachnie „obrona wartości chrześcijańskich”. Troszkę poczułem się urażony tym „indyferentyzmem” — sam uznaję to raczej za millowskie poszanowanie ludzkiej wolności i bezwzględny imperatyw… Czytaj więcej »

avatar
Gość
EwkaK

Och, Panie Ksawery, bardzo przepraszam za indyferentyzm! Niczego złego na myśli nie miałam, rozumiem doskonale, z czego Pańska postawa wynika. To raczej trudno wybaczalny pojęciowy schemat z mojej strony. Prz wszystkich różnicach pomiędzy Tomaszem i Augustynem… Wie Pan, tak zupełnie szczerze, przy całym szacunku należnym świętym, który zresztą obaj ode mnie dostają — ja jednak aż tak bardzo nie dbam i rozbieranie ich i pieczołowitą analizę, a to głównie z tego powodu, że z pewnością obaj przywiązywali mniejsze znaczenie do rozmieszczenia przecinków w swych tekstach niż my to robimy dzisiaj. W każdym razie o proto-Leninowskie rozumienie wolności dało się ich… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Skoro oboje tak chwalicie o.Wiśniewskiego, to obiecuję nie wymawiać się więcej, że do księgarni mam pod górkę i przeczytać. Cieńszy od Summy, to z pewnością przebrnę. Dialog mi zapachniał nieładnie w tym cytacie przytoczonym przez Pawła, ale to zapewne kwestia wyrwania z kontekstu. Jakoś trudno mi zrozumieć sens dialogu wypranego z treści kultury i religii, a i gdy słyszę o dialogu katolicyzmu ze światem, to też widzę dużo ubitej piany, bo niby kto z kim miałby dialogować? Posłowie Pawłowicz i Biedroń? Ani katolicyzm nie jest jednolity, ani tym bardziej świat. Ja mogę dialogować z Panią, albo w myślach z tekstem… Czytaj więcej »

avatar
Gość
EwkaK

Goldinga Pan lubi, więc mu Pan przypisuje spojrzenie Hobbesa i pogląd, że przymus jest usprawiedliwiony ochroną przed przemocą. Też się na Goldingu nie znam (mój Boże, a co ja w ogóle wiem?!), ale z tej powieści wynikają, jak mi się wydaje, konsewencje idące dalej niż u Hobbesa. Rozum, który dla Hobbesa był Bożym darem, a niezależnie od tego w naturalny sposób rzeczą dobrą, u Goldinga znika wraz z zanikiem cywilizacji — nawet pamięć ulega tam zanikowi. Przesłanie powieściowego Mesjasza pokazuje obiektywne zło w ludzkiej naturze, a to jest coś więcej niż naturalne „drgania” wolnych jednostek, którym (z mechanicznej natury drgań)… Czytaj więcej »

avatar
Gość

Goldinga rzeczywiście bardziej lubię, niż Terlikowskiego — ale przecież ta sympatia z treści przekazu musi wynikać… Tak jak i Pani widzę przekaz Goldinga — że cywilizacja jest warunkiem człowieczeństwa. Może też wielkość jego pisarstwa (literatem w końcu był, nie filozofem) polega właśnie na niedopowiedzeniu, czym to człowieczeństwo jest. Ja tu pod nie podkładam potwornie politycznie niepoprawną wizję rozróżnienia między cywilizowaną Anglią z lat 1930′, a dziczą i barbarzyństwem człowieka pierwotnego z jednej strony, a z drugiej okropnościami i zdziczeniem wojny, w jakie wpadły Niemcy po załamaniu się tego tradycyjnego społeczeństwa. Ale nie w przemocy widzę u niego istotę tej cywilizacji,… Czytaj więcej »